Страница 12 номер 1.14, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямая \(m\) — линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) (рис. 1.18). Точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости \(\alpha\), а точка \(C\) — плоскости \(\beta\). Постройте линии пересечения плоскости \(ABC\) с плоскостью \(\alpha\) и с плоскостью \(\beta\).
Точки \(A\), \(B\) и \(C\) на прямой \(m\) не лежат. Поэтому точка \(C\) не принадлежит плоскости \(\alpha\): иначе она была бы общей точкой плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\), а все такие точки лежат на прямой \(m\). Точно так же точки \(A\) и \(B\) не принадлежат плоскости \(\beta\).
Точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости \(\alpha\) и плоскости \(ABC\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AB\) лежит в каждой из них. Плоскости \(ABC\) и \(\alpha\) различны, так как \(C \in ABC\), но \(C \notin \alpha\), а по аксиоме А5 все их общие точки лежат на линии пересечения. Через точки \(A\) и \(B\) проходит только одна прямая, значит, \(ABC \cap \alpha = AB\).
Прямые \(AB\) и \(m\) лежат в плоскости \(\alpha\) и, как видно на рисунке, не параллельны, поэтому они пересекаются; пусть \(X\) — точка их пересечения. Она лежит на продолжении отрезка \(AB\) за точку \(B\).
Точка \(X\) принадлежит прямой \(m\), а \(m \subset \beta\), поэтому \(X \in \beta\); вместе с тем \(X \in AB \subset ABC\). Значит, \(X\) — общая точка плоскостей \(ABC\) и \(\beta\), общей для них является и точка \(C\). Эти плоскости различны, так как \(A \in ABC\), но \(A \notin \beta\), а точки \(C\) и \(X\) различны, так как \(X \in \alpha\), а \(C \notin \alpha\). По аксиоме А5 все общие точки плоскостей \(ABC\) и \(\beta\) лежат на их линии пересечения, следовательно, \(ABC \cap \beta = CX\).
Ответ: плоскость \(ABC\) пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(AB\), а плоскость \(\beta\) — по прямой \(CX\), где \(X\) — точка пересечения прямой \(AB\) с прямой \(m\).
Прямая \(m\) — линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) (рис. 1.18). Точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости \(\alpha\), а точка \(C\) — плоскости \(\beta\). Постройте линии пересечения плоскости \(ABC\) с плоскостью \(\alpha\) и с плоскостью \(\beta\).
Точки \(A\), \(B\) и \(C\) на прямой \(m\) не лежат. Поэтому точка \(C\) не принадлежит плоскости \(\alpha\): иначе она была бы общей точкой плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\), а все такие точки лежат на прямой \(m\). Точно так же точки \(A\) и \(B\) не принадлежат плоскости \(\beta\).
Точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости \(\alpha\), и они же принадлежат плоскости \(ABC\). По аксиоме А4, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости, поэтому прямая \(AB\) лежит и в плоскости \(\alpha\), и в плоскости \(ABC\).
Плоскости \(ABC\) и \(\alpha\) различны, так как \(C \in ABC\), но \(C \notin \alpha\). По аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой. Точки \(A\) и \(B\) — общие для этих плоскостей, а через две точки проходит только одна прямая. Значит, \(ABC \cap \alpha = AB\).
Прямые \(AB\) и \(m\) лежат в плоскости \(\alpha\) и, как видно на рисунке, не параллельны, поэтому они пересекаются; пусть \(X\) — точка их пересечения. Она лежит на продолжении отрезка \(AB\) за точку \(B\).
Точка \(X\) принадлежит прямой \(m\), а \(m \subset \beta\), поэтому \(X \in \beta\). Вместе с тем \(X \in AB \subset ABC\), значит, \(X\) — общая точка плоскостей \(ABC\) и \(\beta\). Общей для них является и точка \(C\). Плоскости \(ABC\) и \(\beta\) различны, так как \(A \in ABC\), но \(A \notin \beta\). Точки \(C\) и \(X\) различны, так как \(X \in \alpha\), а \(C \notin \alpha\). По аксиоме А5 плоскости \(ABC\) и \(\beta\) пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой. Следовательно, \(ABC \cap \beta = CX\).
Ответ: плоскость \(ABC\) пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(AB\), а плоскость \(\beta\) — по прямой \(CX\), где \(X\) — точка пересечения прямой \(AB\) с прямой \(m\).
