Страница 12 номер 1.12, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Изобразите плоскости \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) и прямую \(m\), если известно, что \(\alpha \cap \beta = m\), \(\alpha \cap \gamma = m\).
Прямая \(m\) принадлежит каждой из трёх плоскостей: \(m \subset \alpha\), \(m \subset \beta\), \(m \subset \gamma\), поэтому все три плоскости изображают как три «страницы», выходящие из общего ребра.
Говоря «три плоскости», имеют в виду три разные плоскости, поэтому плоскости \(\beta\) и \(\gamma\) различны. Общие точки у них есть — это все точки прямой \(m\), значит, по аксиоме А5 плоскости \(\beta\) и \(\gamma\) пересекаются по прямой, и все их общие точки принадлежат этой прямой. Прямая пересечения этих плоскостей и прямая \(m\) имеют больше одной общей точки, а через любые две точки проходит только одна прямая, следовательно, эти прямые совпадают: \(\beta \cap \gamma = m\).
Ответ: все три плоскости проходят через прямую \(m\), и любые две из них пересекаются по этой прямой: \(\alpha \cap \beta = m\), \(\alpha \cap \gamma = m\), \(\beta \cap \gamma = m\).
Изобразите плоскости \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) и прямую \(m\), если известно, что \(\alpha \cap \beta = m\), \(\alpha \cap \gamma = m\).
По условию плоскость \(\alpha\) пересекается с плоскостью \(\beta\) по прямой \(m\) и с плоскостью \(\gamma\) — по той же прямой \(m\). Значит, прямая \(m\) принадлежит каждой из трёх плоскостей: \(m \subset \alpha\), \(m \subset \beta\), \(m \subset \gamma\). Все три плоскости проходят через одну прямую, поэтому их изображают как три «страницы», выходящие из общего ребра.
Говоря «три плоскости», имеют в виду три разные плоскости, поэтому плоскости \(\beta\) и \(\gamma\) различны. Общие точки у них есть — это все точки прямой \(m\), значит, по аксиоме А5 плоскости \(\beta\) и \(\gamma\) пересекаются по прямой, и все их общие точки принадлежат этой прямой. Каждая точка прямой \(m\) — общая точка плоскостей \(\beta\) и \(\gamma\), поэтому прямая пересечения этих плоскостей и прямая \(m\) имеют больше одной общей точки. Через любые две точки проходит только одна прямая, следовательно, эти прямые совпадают: \(\beta \cap \gamma = m\).
Ответ: все три плоскости проходят через прямую \(m\), и любые две из них пересекаются по этой прямой: \(\alpha \cap \beta = m\), \(\alpha \cap \gamma = m\), \(\beta \cap \gamma = m\).
