Страница 12 номер 1.10, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку?
Пусть плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) имеют общую точку \(A\). По аксиоме А5 они пересекаются по прямой; пусть \(\alpha \cap \beta = a\). Тогда все общие точки плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) принадлежат прямой \(a\), в частности \(A \in a\).
Каждая точка прямой \(a\) принадлежит и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(\beta\), то есть является их общей точкой, а точек на прямой бесконечно много.
Значит, как только у двух плоскостей нашлась хотя бы одна общая точка, у них сразу оказывается целая прямая общих точек. Одной-единственной общей точкой две плоскости обойтись не могут.
Ответ: нет, не могут: если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, и каждая точка этой прямой является их общей точкой, то есть общих точек бесконечно много.
Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку?
Пусть плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) имеют общую точку \(A\), то есть \(A \in \alpha\) и \(A \in \beta\). По аксиоме А5, если две плоскости имеют общую точку (пересекаются), то они пересекаются по прямой. Пусть \(\alpha \cap \beta = a\). Тогда все общие точки плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) принадлежат прямой \(a\), в частности \(A \in a\).
Каждая точка прямой \(a\) принадлежит и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(\beta\), то есть является их общей точкой, а точек на прямой бесконечно много.
Значит, как только у двух плоскостей нашлась хотя бы одна общая точка, у них сразу оказывается целая прямая общих точек. Одной-единственной общей точкой две плоскости обойтись не могут.
Ответ: нет, не могут: если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, и каждая точка этой прямой является их общей точкой, то есть общих точек бесконечно много.
