Страница 58 номер 93, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Нарисуйте какое-нибудь дерево, в котором 5 рёбер и 3 концевых вершины.
При 5 рёбрах в дереве \(5 + 1 = 6\) вершин, а сумма степеней всех вершин равна \(2 \cdot 5 = 10\).
Три концевые вершины имеют степень 1, на остальные три приходится \(10 - 3 = 7\), причём степень каждой из них не меньше 2: степень 1 дала бы четвёртую концевую вершину, а степень 0 невозможна, ведь дерево связно. Число 7 раскладывается в сумму трёх слагаемых, не меньших 2, единственным способом: \(7 = 2 + 2 + 3\). Значит, степени вершин — 1, 1, 1, 2, 2, 3.
Подойдёт дерево: вершина \(A\) степени 3, к которой примыкают ребро \(AB\), ребро \(AC\) и цепь \(ADEF\) с рёбрами \(AD\), \(DE\), \(EF\). Всего рёбер пять: \(AB\), \(AC\), \(AD\), \(DE\), \(EF\); граф связен и циклов не имеет. Степени вершин: \(A\) — 3, \(D\) — 2, \(E\) — 2, \(B\) — 1, \(C\) — 1, \(F\) — 1, то есть концевых вершин ровно три: \(B\), \(C\) и \(F\).
Ответ: годится дерево с вершинами \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) и рёбрами \(AB\), \(AC\), \(AD\), \(DE\), \(EF\): в нём 5 рёбер и три концевые вершины \(B\), \(C\), \(F\).
Нарисуйте какое-нибудь дерево, в котором 5 рёбер и 3 концевых вершины.
В конечном дереве вершин на одну больше, чем рёбер, поэтому при 5 рёбрах в дереве \(5 + 1 = 6\) вершин, а сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер, то есть \(2 \cdot 5 = 10\).
Три вершины концевые, их степени равны 1. На оставшиеся три вершины приходится \(10 - 3 = 7\), причём степень каждой из них не меньше 2 (степень 1 сделала бы вершину четвёртой концевой, а степень 0 невозможна: дерево связно). Число 7 раскладывается в сумму трёх слагаемых, каждое из которых не меньше 2, единственным способом: \(7 = 2 + 2 + 3\). Значит, степени вершин дерева — 1, 1, 1, 2, 2, 3.
Подойдёт, например, такое дерево: вершина \(A\) степени 3, к которой примыкают ребро \(AB\), ребро \(AC\) и цепь \(ADEF\) с рёбрами \(AD\), \(DE\), \(EF\).
Всего рёбер пять: \(AB\), \(AC\), \(AD\), \(DE\), \(EF\). Граф связен, циклов не имеет — это дерево. Степени вершин: \(A\) — 3, \(D\) — 2, \(E\) — 2, \(B\) — 1, \(C\) — 1, \(F\) — 1, то есть концевых вершин ровно три: \(B\), \(C\) и \(F\).
Ответ: годится дерево с вершинами \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) и рёбрами \(AB\), \(AC\), \(AD\), \(DE\), \(EF\): в нём 5 рёбер и три концевые вершины \(B\), \(C\), \(F\).
