Страница 55 номер 89, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Можно ли обозначить рёбра куба числами \(-6\), \(-5\), \(-4\), \(-3\), \(-2\), \(-1\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) и \(6\) так, чтобы суммы обозначений рёбер, входящих во все вершины, были одинаковы?
Пусть в каждой из восьми вершин куба сумма чисел на сошедшихся рёбрах равна \(x\). Сложим все восемь сумм: с одной стороны, получится \(8x\), а с другой — каждое число входит в сумму дважды, потому что у ребра два конца, то есть получится удвоенная сумма всех двенадцати чисел.
Числа разбиваются на пары противоположных: \(-6\) и 6, \(-5\) и 5, \(-4\) и 4, \(-3\) и 3, \(-2\) и 2, \(-1\) и 1; сумма каждой пары равна нулю, поэтому сумма всех двенадцати чисел равна 0.
Значит, \(8x = 2 \cdot 0 = 0\), откуда \(x = 0\): остаётся предъявить такую расстановку.
Обозначим вершины куба: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — вершины нижней грани, \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), \(D_1\) — вершины верхней грани, причём \(A_1\) лежит над \(A\), \(B_1\) — над \(B\), \(C_1\) — над \(C\), \(D_1\) — над \(D\). Расставим числа так:
рёбрам нижней грани \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(AD\) — числа \(-6\), 2, 3, 1;
рёбрам верхней грани \(A_1B_1\), \(B_1C_1\), \(C_1D_1\), \(A_1D_1\) — числа \(-3\), \(-1\), 6, \(-2\);
вертикальным рёбрам \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\), \(DD_1\) — числа 5, 4, \(-5\), \(-4\).
Каждое из двенадцати чисел использовано ровно один раз.
Проверка: в каждой вершине куба сходятся три ребра.
В вершине \(A\): \(-6 + 1 + 5 = 0\).
В вершине \(B\): \(-6 + 2 + 4 = 0\).
В вершине \(C\): \(2 + 3 - 5 = 0\).
В вершине \(D\): \(1 + 3 - 4 = 0\).
В вершине \(A_1\): \(-3 - 2 + 5 = 0\).
В вершине \(B_1\): \(-3 - 1 + 4 = 0\).
В вершине \(C_1\): \(-1 + 6 - 5 = 0\).
В вершине \(D_1\): \(-2 + 6 - 4 = 0\).
Все восемь сумм равны нулю, значит, требуемая расстановка существует.
Ответ: да, можно; при этом сумма чисел в каждой вершине обязательно равна 0.
Можно ли обозначить рёбра куба числами \(-6\), \(-5\), \(-4\), \(-3\), \(-2\), \(-1\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) и \(6\) так, чтобы суммы обозначений рёбер, входящих во все вершины, были одинаковы?
Пусть в каждой из восьми вершин куба сумма чисел на сошедшихся рёбрах равна \(x\). Сложим все восемь сумм: с одной стороны, получится \(8x\), а с другой — каждое число входит в эту сумму дважды, потому что у ребра два конца, то есть получится удвоенная сумма всех двенадцати чисел.
Числа разбиваются на пары противоположных: \(-6\) и 6, \(-5\) и 5, \(-4\) и 4, \(-3\) и 3, \(-2\) и 2, \(-1\) и 1. Сумма каждой пары равна нулю, поэтому сумма всех двенадцати чисел равна 0.
Значит, \(8x = 2 \cdot 0 = 0\), откуда \(x = 0\): если нужная расстановка существует, то суммы в вершинах равны нулю. Остаётся предъявить такую расстановку.
Обозначим вершины куба: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — вершины нижней грани, \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), \(D_1\) — вершины верхней грани, причём \(A_1\) лежит над \(A\), \(B_1\) — над \(B\), \(C_1\) — над \(C\), \(D_1\) — над \(D\).
Расставим числа так:
рёбрам нижней грани \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(AD\) — числа \(-6\), 2, 3, 1;
рёбрам верхней грани \(A_1B_1\), \(B_1C_1\), \(C_1D_1\), \(A_1D_1\) — числа \(-3\), \(-1\), 6, \(-2\);
вертикальным рёбрам \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\), \(DD_1\) — числа 5, 4, \(-5\), \(-4\).
Каждое из двенадцати чисел использовано ровно один раз.
Проверим суммы во всех восьми вершинах; в каждой вершине куба сходятся три ребра:
в вершине \(A\) — \(-6 + 1 + 5 = 0\);
в вершине \(B\) — \(-6 + 2 + 4 = 0\);
в вершине \(C\) — \(2 + 3 - 5 = 0\);
в вершине \(D\) — \(1 + 3 - 4 = 0\);
в вершине \(A_1\) — \(-3 - 2 + 5 = 0\);
в вершине \(B_1\) — \(-3 - 1 + 4 = 0\);
в вершине \(C_1\) — \(-1 + 6 - 5 = 0\);
в вершине \(D_1\) — \(-2 + 6 - 4 = 0\).
Все восемь сумм равны нулю, значит, требуемая расстановка существует.
Ответ: да, можно; при этом сумма чисел в каждой вершине обязательно равна 0.
