Страница 54 номер 88, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Можно ли занумеровать рёбра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы суммы номеров рёбер, которые сходятся в каждой вершине, были одинаковыми?
Предположим, что рёбра куба занумерованы натуральными числами от 1 до 12 так, что в каждой из восьми вершин сумма номеров сошедшихся в ней рёбер равна одному и тому же числу \(x\).
Сложим все восемь сумм. С одной стороны, получится \(8x\).
С другой стороны, каждое ребро соединяет две вершины, поэтому его номер входит в сумму ровно дважды — по разу при каждом конце, то есть получается удвоенная сумма всех номеров \(2 \cdot 78 = 156\), ведь \(1 + 2 + \ldots + 12 = 78\).
Значит, \(8x = 156\), откуда \(x = 156 : 8 = 19{,}5\).
Но в каждой вершине куба сходятся три ребра, и \(x\) — сумма трёх натуральных чисел, то есть целое число, а \(19{,}5\) целым не является, — получилось противоречие.
Ответ: нет, занумеровать рёбра куба такими числами нельзя.
Можно ли занумеровать рёбра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы суммы номеров рёбер, которые сходятся в каждой вершине, были одинаковыми?
Предположим, что рёбра куба занумерованы натуральными числами от 1 до 12 так, что в каждой из восьми вершин сумма номеров сошедшихся в ней рёбер равна одному и тому же числу \(x\).
Сложим все восемь сумм. С одной стороны, получится \(8x\).
С другой стороны, каждое ребро куба соединяет две вершины, поэтому его номер входит в эту сумму ровно дважды: один раз при одном конце ребра и один раз при другом. Значит, все восемь сумм вместе дают удвоенную сумму всех номеров. Сумма всех номеров равна \(1 + 2 + \ldots + 12 = 78\), поэтому в итоге получается \(2 \cdot 78 = 156\).
Значит, \(8x = 156\), откуда \(x = 156 : 8 = 19{,}5\).
Но в каждой вершине куба сходятся три ребра, и \(x\) — сумма трёх натуральных чисел, то есть целое число. Число \(19{,}5\) целым не является — получилось противоречие.
Ответ: нет, занумеровать рёбра куба такими числами нельзя.
