Страница 53 номер 77, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
а) Такой граф существует. Возьмём четыре вершины \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и проведём ребро \(AC\), петлю при вершине \(A\) и петлю при вершине \(B\); вершина \(D\) остаётся изолированной. У петли считаются оба её конца, поэтому степени вершин: \(A\) — 3, \(B\) — 2, \(C\) — 1, \(D\) — 0. Это как раз числа 0, 1, 2, 3.
Проверка: сумма степеней \(3 + 2 + 1 + 0 = 6\), рёбер в графе три, и удвоенное число рёбер тоже равно 6.
б) Такого графа не существует. Предположим, что он есть; пусть \(A\) — его вершина степени 3, а \(D\) — вершина степени 0.
Петель нет, поэтому каждое из трёх рёбер при вершине \(A\) соединяет её с какой-то из трёх остальных вершин; кратных рёбер нет, поэтому ведут они в три разные вершины. Значит, вершина \(A\) соединена с каждой из трёх остальных, в том числе с вершиной \(D\).
Но степень вершины \(D\) равна 0, то есть к ней не примыкает ни одного ребра, — получилось противоречие.
Ответ: а) да, такой граф существует: ребро \(AC\), петля при вершине \(A\) и петля при вершине \(B\) дают степени \(A\) — 3, \(B\) — 2, \(C\) — 1, \(D\) — 0; б) нет, без петель и кратных рёбер такого графа не существует.
а) Такой граф существует.
Возьмём четыре вершины \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и проведём ребро \(AC\), петлю при вершине \(A\) и петлю при вершине \(B\); вершина \(D\) остаётся изолированной.
У петли считаются оба её конца, поэтому степени вершин: \(A\) — 3 (один конец ребра \(AC\) и два конца петли), \(B\) — 2 (два конца петли), \(C\) — 1, \(D\) — 0. Это как раз числа 0, 1, 2, 3.
Проверка: сумма степеней всех вершин равна \(3 + 2 + 1 + 0 = 6\), рёбер в графе три, и удвоенное число рёбер тоже равно 6.
б) Такого графа не существует.
Предположим, что он есть. Пусть \(A\) — его вершина степени 3, а \(D\) — вершина степени 0.
Петель в графе нет, поэтому каждое из трёх рёбер при вершине \(A\) соединяет её с какой-то из трёх остальных вершин. Кратных рёбер тоже нет, поэтому с одной и той же вершиной эти рёбра вести не могут: они ведут в три разные вершины. Значит, вершина \(A\) соединена с каждой из трёх остальных вершин, в том числе с вершиной \(D\).
Но степень вершины \(D\) равна 0, то есть к ней не примыкает ни одного ребра. Получилось противоречие, значит, такого графа не существует.
Ответ: а) да, такой граф существует: ребро \(AC\), петля при вершине \(A\) и петля при вершине \(B\) дают степени \(A\) — 3, \(B\) — 2, \(C\) — 1, \(D\) — 0; б) нет, без петель и кратных рёбер такого графа не существует.
