Страница 70 номер 121, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Сопоставим каждому из шестерых участников вершину, а каждому удачному броску — ребро, ведущее от того, кто попал, к тому, в кого попали; рёбра могут быть кратными. Исходящая степень вершины — число попаданий участника в других, входящая степень — число попаданий в него.
Предположим, что все шестеро правы.
У каждого из пяти Гениных одноклассников исходящая степень больше входящей, а степени — целые числа, поэтому разность «исходящая степень минус входящая степень» у каждого из этих пятерых не меньше 1, и сумма таких разностей по пяти одноклассникам не меньше 5.
С другой стороны, сумма исходящих степеней всех вершин равна сумме входящих степеней, значит, сумма разностей «исходящая степень минус входящая степень» по всем шести вершинам равна нулю.
Отсюда у вершины Гены эта разность не больше \(-5\), то есть входящая степень Гены превосходит его исходящую степень не меньше чем на 5. Исходящая степень неотрицательна, поэтому в Гену попали не меньше пяти раз, а он утверждает, что в него попали ровно четыре раза, — противоречие.
Ответ: утверждение доказано: если бы все пятеро одноклассников были правы, в Гену попали бы не меньше пяти раз, поэтому хотя бы один из шестерых ошибается.
Сопоставим каждому из шестерых участников вершину, а каждому удачному броску — ребро: оно ведёт от того, кто попал, к тому, в кого попали. Один и тот же участник мог попасть в другого несколько раз, поэтому рёбра могут быть кратными.
Тогда исходящая степень вершины — это число попаданий данного участника в других, а входящая степень — число попаданий в него.
Предположим, что все шестеро правы, и придём к противоречию.
Для каждого из пяти Гениных одноклассников исходящая степень больше входящей. Степени — целые числа, поэтому разность «исходящая степень минус входящая степень» у каждого из этих пятерых не меньше 1, и сумма таких разностей по пяти одноклассникам не меньше 5.
С другой стороны, в ориентированном графе сумма исходящих степеней всех вершин равна сумме входящих степеней. Значит, сумма разностей «исходящая степень минус входящая степень» по всем шести вершинам равна нулю.
Отсюда разность «исходящая степень минус входящая степень» у вершины Гены не больше \(-5\), то есть входящая степень Гены превосходит его исходящую степень не меньше чем на 5. Исходящая степень неотрицательна, поэтому входящая степень Гены не меньше 5, то есть в Гену попали не меньше пяти раз.
Но Гена утверждает, что в него попали ровно четыре раза. Получилось противоречие, значит, все шестеро правы быть не могут.
Ответ: утверждение доказано: если бы все пятеро одноклассников были правы, в Гену попали бы не меньше пяти раз, поэтому хотя бы один из шестерых ошибается.
