Страница 78 номер 9.9, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Чётным или нечётным натуральным числом является показатель степени \(n\) функции \(f(x) = x^n\), если: 1) \(f(-4) < f(2)\); 2) \(f(-4) > f(2)\); 3) \(f(4) > f(-2)\)?
При чётном \(n\) функция \(f(x) = x^n\) чётная и возрастает на \([0;\ +\infty)\); при нечётном \(n\) она возрастающая, причём \(f(x) < 0\) при \(x < 0\) и \(f(x) > 0\) при \(x > 0\).
1) При чётном \(n\) было бы \(f(-4) = (-4)^n = 4^n > 2^n = f(2)\) — противоречие с условием, значит, \(n\) нечётное: тогда \(f(-4) < 0\) и \(f(2) > 0\), то есть \(f(-4) < f(2)\).
2) При нечётном \(n\) было бы \(f(-4) < 0\) и \(f(2) > 0\), то есть \(f(-4) < f(2)\), — противоречие с условием, значит, \(n\) чётное: тогда \(f(-4) = 4^n > 2^n = f(2)\).
3) При чётном \(n\): \(f(4) = 4^n\), \(f(-2) = (-2)^n = 2^n\) и \(4^n > 2^n\) — неравенство выполняется (при \(n = 2\): \(16 > 4\)).
При нечётном \(n\): \(f(4) = 4^n > 0\), а \(f(-2) = (-2)^n < 0\) — тоже выполняется (при \(n = 3\): \(64 > -8\)).
Неравенство \(f(4) > f(-2)\) верно при любом натуральном \(n\), поэтому чётность показателя определить невозможно.
Ответ: 1) нечётным; 2) чётным; 3) определить невозможно — неравенство \(f(4) > f(-2)\) выполняется при любом натуральном \(n\).
Чётным или нечётным натуральным числом является показатель степени \(n\) функции \(f(x) = x^n\), если: 1) \(f(-4) < f(2)\); 2) \(f(-4) > f(2)\); 3) \(f(4) > f(-2)\)?
Если \(n\) — чётное натуральное число, то функция \(f(x) = x^n\) чётная и возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\). Если \(n\) — нечётное натуральное число, то функция \(f\) возрастающая, причём \(f(x) < 0\) при \(x < 0\) и \(f(x) > 0\) при \(x > 0\).
1) Пусть \(n\) — чётное. Тогда \(f(-4) = (-4)^n = 4^n\) и \(f(2) = 2^n\). Числа 4 и 2 принадлежат промежутку \([0;\ +\infty)\), на котором функция возрастает, и \(4 > 2\), поэтому \(4^n > 2^n\), то есть \(f(-4) > f(2)\). Это противоречит условию, значит, \(n\) — нечётное.
Проверим: при нечётном \(n\) имеем \(f(-4) = (-4)^n < 0\) и \(f(2) = 2^n > 0\), поэтому неравенство \(f(-4) < f(2)\) действительно выполняется.
2) Пусть \(n\) — нечётное. Тогда \(f(-4) < 0\) и \(f(2) > 0\), то есть \(f(-4) < f(2)\). Это противоречит условию, значит, \(n\) — чётное.
Проверим: при чётном \(n\) имеем \(f(-4) = 4^n\) и \(f(2) = 2^n\), причём \(4^n > 2^n\), поэтому неравенство \(f(-4) > f(2)\) действительно выполняется.
3) Пусть \(n\) — чётное. Тогда \(f(4) = 4^n\) и \(f(-2) = (-2)^n = 2^n\), а \(4^n > 2^n\), то есть неравенство \(f(4) > f(-2)\) выполняется. Например, при \(n = 2\): \(f(4) = 16\), \(f(-2) = 4\) и \(16 > 4\).
Пусть теперь \(n\) — нечётное. Тогда \(f(4) = 4^n > 0\) и \(f(-2) = (-2)^n < 0\), то есть неравенство \(f(4) > f(-2)\) тоже выполняется. Например, при \(n = 3\): \(f(4) = 64\), \(f(-2) = -8\) и \(64 > -8\).
Неравенство \(f(4) > f(-2)\) верно при любом натуральном \(n\), поэтому чётность показателя определить невозможно.
Ответ: 1) нечётным; 2) чётным; 3) определить невозможно — неравенство \(f(4) > f(-2)\) выполняется при любом натуральном \(n\).
