Страница 78 номер 9.10, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \(x^{11} + x^3 = 2\); 2) \(2x^4 + x^{10} = 3\).
1) Показатели 11 и 3 нечётные, поэтому \(y = x^{11}\) и \(y = x^3\) возрастающие, а их сумма \(f(x) = x^{11} + x^3\) возрастает — корень не более одного.
Подбором: \(f(1) = 1^{11} + 1^3 = 2\), значит, \(x = 1\) — единственный корень.
2) Функция \(f(x) = 2x^4 + x^{10}\) чётная: \(f(-x) = 2(-x)^4 + (-x)^{10} = 2x^4 + x^{10} = f(x)\), поэтому вместе с корнем \(x_0\) есть и корень \(-x_0\) — достаточно найти неотрицательные корни.
Показатели 4 и 10 чётные, поэтому на \([0;\ +\infty)\) функции \(y = x^4\) и \(y = x^{10}\) возрастают; из \(0 \leqslant x_1 < x_2\) следует \(x_1^4 < x_2^4\) и \(2x_1^4 < 2x_2^4\), то есть \(y = 2x^4\) тоже возрастает, а с ней и сумма — корень не более одного.
Подбором: \(f(1) = 2 + 1 = 3\), значит, \(x = 1\) — единственный неотрицательный корень, а вместе с ним корнем является и число \(-1\).
Ответ: 1) \(x = 1\); 2) \(x = -1\); \(x = 1\).
Решите уравнение: 1) \(x^{11} + x^3 = 2\); 2) \(2x^4 + x^{10} = 3\).
1) \(x^{11} + x^3 = 2\).
Рассмотрим функцию \(f(x) = x^{11} + x^3\). Показатели 11 и 3 — нечётные натуральные числа, поэтому каждая из функций \(y = x^{11}\) и \(y = x^3\) возрастающая, а сумма возрастающих функций — функция возрастающая. Значит, каждое своё значение функция \(f\) принимает не более чем при одном значении аргумента, и данное уравнение имеет не более одного корня.
Подбором находим корень: \(f(1) = 1^{11} + 1^3 = 2\).
Значит, \(x = 1\) — единственный корень уравнения.
2) \(2x^4 + x^{10} = 3\).
Рассмотрим функцию \(f(x) = 2x^4 + x^{10}\). Она чётная, так как \(f(-x) = 2(-x)^4 + (-x)^{10} = 2x^4 + x^{10} = f(x)\). Поэтому вместе с каждым корнем \(x_0\) уравнение имеет и корень \(-x_0\), и достаточно найти неотрицательные корни.
Показатели 4 и 10 — чётные натуральные числа, поэтому на промежутке \([0;\ +\infty)\) функции \(y = x^4\) и \(y = x^{10}\) возрастают. Если \(0 \leqslant x_1 < x_2\), то \(x_1^4 < x_2^4\), откуда \(2x_1^4 < 2x_2^4\), то есть функция \(y = 2x^4\) на этом промежутке тоже возрастает. Сумма возрастающих функций возрастает, поэтому на промежутке \([0;\ +\infty)\) уравнение имеет не более одного корня.
Подбором находим: \(f(1) = 2 + 1 = 3\).
Значит, \(x = 1\) — единственный неотрицательный корень, а вместе с ним корнем является и число \(-1\).
Ответ: 1) \(x = 1\); 2) \(x = -1\); \(x = 1\).
