Страница 78 номер 9.8, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^6\) на промежутке: 1) \([-13;\ -1]\); 2) \([-2;\ 1]\); 3) \([1;\ +\infty)\); 4) \((1;\ +\infty)\).
\(n = 6\) — чётное, поэтому \(f(x) = x^6\) убывает на \((-\infty;\ 0]\) и возрастает на \([0;\ +\infty)\); \(f(x) \geqslant 0\) при любом \(x\) и \(f(0) = 0\).
1) На \([-13;\ -1]\) функция убывает: \(\max\limits_{[-13;\ -1]} f(x) = f(-13) = 13^6 = 4\,826\,809\), \(\min\limits_{[-13;\ -1]} f(x) = f(-1) = 1\).
2) Отрезку \([-2;\ 1]\) принадлежит 0, поэтому \(\min\limits_{[-2;\ 1]} f(x) = f(0) = 0\); наибольшее на \([-2;\ 0]\) равно \(f(-2) = 64\), на \([0;\ 1]\) равно \(f(1) = 1\), а \(64 > 1\), значит, \(\max\limits_{[-2;\ 1]} f(x) = f(-2) = 64\).
3) На \([1;\ +\infty)\) функция возрастает: \(\min\limits_{[1;\ +\infty)} f(x) = f(1) = 1\).
Наибольшего значения нет: для любого \(x_0 \geqslant 1\) число \(x_1 = x_0 + 1\) тоже в промежутке и \(x_1 > x_0\), значит, \(f(x_1) > f(x_0)\).
4) На \((1;\ +\infty)\) функция возрастает.
Наибольшего значения нет: для любого \(x_0 > 1\) число \(x_1 = x_0 + 1\) тоже в промежутке и \(f(x_1) > f(x_0)\).
Наименьшего тоже нет: число \(x_1 = \frac{1 + x_0}{2}\) лежит в промежутке, причём \(1 < x_1 < x_0\) и \(f(x_1) < f(x_0)\).
Ответ: 1) \(\min\limits_{[-13;\ -1]} f(x) = 1\), \(\max\limits_{[-13;\ -1]} f(x) = 4\,826\,809\); 2) \(\min\limits_{[-2;\ 1]} f(x) = 0\), \(\max\limits_{[-2;\ 1]} f(x) = 64\); 3) \(\min\limits_{[1;\ +\infty)} f(x) = 1\), наибольшего значения не существует; 4) ни наибольшего, ни наименьшего значения не существует.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^6\) на промежутке: 1) \([-13;\ -1]\); 2) \([-2;\ 1]\); 3) \([1;\ +\infty)\); 4) \((1;\ +\infty)\).
Показатель степени \(n = 6\) — чётное натуральное число, поэтому функция \(f(x) = x^6\) убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\) и возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\). Кроме того, \(f(x) \geqslant 0\) при любом \(x\) и \(f(0) = 0\).
1) Отрезок \([-13;\ -1]\) содержится в промежутке \((-\infty;\ 0]\), на котором функция убывает. Значит, наибольшее значение она принимает в левом конце отрезка, а наименьшее — в правом: \(\max\limits_{[-13;\ -1]} f(x) = f(-13) = 13^6 = 4\,826\,809\), \(\min\limits_{[-13;\ -1]} f(x) = f(-1) = 1\).
2) Отрезку \([-2;\ 1]\) принадлежит число 0, поэтому \(\min\limits_{[-2;\ 1]} f(x) = f(0) = 0\). На отрезке \([-2;\ 0]\) функция убывает и её наибольшее значение равно \(f(-2) = 64\), на отрезке \([0;\ 1]\) функция возрастает и её наибольшее значение равно \(f(1) = 1\). Так как \(64 > 1\), то \(\max\limits_{[-2;\ 1]} f(x) = f(-2) = 64\).
3) Промежуток \([1;\ +\infty)\) содержится в промежутке \([0;\ +\infty)\), на котором функция возрастает, поэтому наименьшее значение она принимает в левом конце промежутка: \(\min\limits_{[1;\ +\infty)} f(x) = f(1) = 1\).
Наибольшего значения не существует: какое бы число \(x_0 \geqslant 1\) мы ни взяли, число \(x_1 = x_0 + 1\) также принадлежит этому промежутку и \(x_1 > x_0\), а значит, \(f(x_1) > f(x_0)\).
4) На промежутке \((1;\ +\infty)\) функция возрастает.
Наибольшего значения не существует: какое бы число \(x_0 > 1\) мы ни взяли, число \(x_1 = x_0 + 1\) также принадлежит этому промежутку и \(x_1 > x_0\), а значит, \(f(x_1) > f(x_0)\).
Наименьшего значения также не существует: какое бы число \(x_0 > 1\) мы ни взяли, число \(x_1 = \frac{1 + x_0}{2}\) также принадлежит этому промежутку, причём \(1 < x_1 < x_0\), а значит, \(f(x_1) < f(x_0)\).
Ответ: 1) \(\min\limits_{[-13;\ -1]} f(x) = 1\), \(\max\limits_{[-13;\ -1]} f(x) = 4\,826\,809\); 2) \(\min\limits_{[-2;\ 1]} f(x) = 0\), \(\max\limits_{[-2;\ 1]} f(x) = 64\); 3) \(\min\limits_{[1;\ +\infty)} f(x) = 1\), наибольшего значения не существует; 4) ни наибольшего, ни наименьшего значения не существует.
