Страница 78 номер 9.7, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^8\) на промежутке: 1) \([0;\ 2]\); 2) \([-2;\ -1]\); 3) \([-1;\ 1]\); 4) \((-\infty;\ -2]\); 5) \((-2;\ 1)\).
\(n = 8\) — чётное, поэтому \(f(x) = x^8\) убывает на \((-\infty;\ 0]\) и возрастает на \([0;\ +\infty)\); \(f(x) \geqslant 0\) при любом \(x\) и \(f(0) = 0\).
1) На \([0;\ 2]\) функция возрастает: \(\min\limits_{[0;\ 2]} f(x) = f(0) = 0\), \(\max\limits_{[0;\ 2]} f(x) = f(2) = 2^8 = 256\).
2) На \([-2;\ -1]\) функция убывает: \(\max\limits_{[-2;\ -1]} f(x) = f(-2) = 256\), \(\min\limits_{[-2;\ -1]} f(x) = f(-1) = 1\).
3) Отрезку \([-1;\ 1]\) принадлежит 0, поэтому \(\min\limits_{[-1;\ 1]} f(x) = f(0) = 0\); наибольшее на \([-1;\ 0]\) равно \(f(-1) = 1\), на \([0;\ 1]\) равно \(f(1) = 1\), значит, \(\max\limits_{[-1;\ 1]} f(x) = f(-1) = f(1) = 1\).
4) На \((-\infty;\ -2]\) функция убывает: \(\min\limits_{(-\infty;\ -2]} f(x) = f(-2) = 256\).
Наибольшего значения нет: для любого \(x_0 \leqslant -2\) число \(x_1 = x_0 - 1\) тоже в промежутке и \(x_1 < x_0\), значит, \(f(x_1) > f(x_0)\).
5) Промежутку \((-2;\ 1)\) принадлежит 0, а \(f(x) \geqslant 0\), поэтому \(\min\limits_{(-2;\ 1)} f(x) = f(0) = 0\).
Наибольшего значения нет: при \(-2 < x_0 \leqslant 0\) для \(x_1\) с условием \(-2 < x_1 < x_0\) на убывающем промежутке \((-2;\ 0]\) имеем \(f(x_1) > f(x_0)\); при \(0 < x_0 < 1\) имеем \(f(x_0) = x_0^8 < 1\), а число \(-1\) лежит в промежутке и \(f(-1) = 1 > f(x_0)\).
Ответ: 1) \(\min\limits_{[0;\ 2]} f(x) = 0\), \(\max\limits_{[0;\ 2]} f(x) = 256\); 2) \(\min\limits_{[-2;\ -1]} f(x) = 1\), \(\max\limits_{[-2;\ -1]} f(x) = 256\); 3) \(\min\limits_{[-1;\ 1]} f(x) = 0\), \(\max\limits_{[-1;\ 1]} f(x) = 1\); 4) \(\min\limits_{(-\infty;\ -2]} f(x) = 256\), наибольшего значения не существует; 5) \(\min\limits_{(-2;\ 1)} f(x) = 0\), наибольшего значения не существует.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^8\) на промежутке: 1) \([0;\ 2]\); 2) \([-2;\ -1]\); 3) \([-1;\ 1]\); 4) \((-\infty;\ -2]\); 5) \((-2;\ 1)\).
Показатель степени \(n = 8\) — чётное натуральное число, поэтому функция \(f(x) = x^8\) убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\) и возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\). Кроме того, \(f(x) \geqslant 0\) при любом \(x\) и \(f(0) = 0\).
1) Отрезок \([0;\ 2]\) содержится в промежутке \([0;\ +\infty)\), на котором функция возрастает. Значит, наименьшее значение она принимает в левом конце отрезка, а наибольшее — в правом: \(\min\limits_{[0;\ 2]} f(x) = f(0) = 0\), \(\max\limits_{[0;\ 2]} f(x) = f(2) = 2^8 = 256\).
2) Отрезок \([-2;\ -1]\) содержится в промежутке \((-\infty;\ 0]\), на котором функция убывает. Значит, наибольшее значение она принимает в левом конце отрезка, а наименьшее — в правом: \(\max\limits_{[-2;\ -1]} f(x) = f(-2) = 256\), \(\min\limits_{[-2;\ -1]} f(x) = f(-1) = 1\).
3) Отрезку \([-1;\ 1]\) принадлежит число 0, поэтому \(\min\limits_{[-1;\ 1]} f(x) = f(0) = 0\). На отрезке \([-1;\ 0]\) функция убывает и её наибольшее значение равно \(f(-1) = 1\), на отрезке \([0;\ 1]\) функция возрастает и её наибольшее значение равно \(f(1) = 1\). Значит, \(\max\limits_{[-1;\ 1]} f(x) = f(-1) = f(1) = 1\).
4) На промежутке \((-\infty;\ -2]\) функция убывает, поэтому наименьшее значение она принимает в правом конце промежутка: \(\min\limits_{(-\infty;\ -2]} f(x) = f(-2) = 256\).
Наибольшего значения не существует: какое бы число \(x_0 \leqslant -2\) мы ни взяли, число \(x_1 = x_0 - 1\) также принадлежит этому промежутку и \(x_1 < x_0\), а значит, \(f(x_1) > f(x_0)\).
5) Промежутку \((-2;\ 1)\) принадлежит число 0, а \(f(x) \geqslant 0\) при любом \(x\), поэтому \(\min\limits_{(-2;\ 1)} f(x) = f(0) = 0\).
Наибольшего значения не существует. Действительно, пусть \(x_0\) — произвольное число из промежутка \((-2;\ 1)\). Если \(-2 < x_0 \leqslant 0\), то возьмём число \(x_1\) так, что \(-2 < x_1 < x_0\); на промежутке \((-2;\ 0]\) функция убывает, поэтому \(f(x_1) > f(x_0)\). Если же \(0 < x_0 < 1\), то \(f(x_0) = x_0^8 < 1\), а число \(-1\) принадлежит промежутку \((-2;\ 1)\) и \(f(-1) = 1 > f(x_0)\). Значит, ни в одной точке промежутка функция не принимает наибольшего значения.
Ответ: 1) \(\min\limits_{[0;\ 2]} f(x) = 0\), \(\max\limits_{[0;\ 2]} f(x) = 256\); 2) \(\min\limits_{[-2;\ -1]} f(x) = 1\), \(\max\limits_{[-2;\ -1]} f(x) = 256\); 3) \(\min\limits_{[-1;\ 1]} f(x) = 0\), \(\max\limits_{[-1;\ 1]} f(x) = 1\); 4) \(\min\limits_{(-\infty;\ -2]} f(x) = 256\), наибольшего значения не существует; 5) \(\min\limits_{(-2;\ 1)} f(x) = 0\), наибольшего значения не существует.
