Страница 77 номер 9.6, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = |x|x^3\); 2) \(y = |x|x^4 - x^5\).
1) При \(x \geqslant 0\) имеем \(y = x \cdot x^3 = x^4\), при \(x < 0\) имеем \(y = -x \cdot x^3 = -x^4\): \[y = \begin{cases} x^4, & \text{если } x \geqslant 0, \\ -x^4, & \text{если } x < 0. \end{cases}\]
Функция нечётная: \(|-x| \cdot (-x)^3 = -|x| \cdot x^3\). Ветвь \(y = x^4\) при \(x \geqslant 0\) через \((0;\ 0)\) и \((1;\ 1)\) отражаем относительно начала координат; кривая проходит через \((-1;\ -1)\).
2) При \(x \geqslant 0\) имеем \(y = x^5 - x^5 = 0\), при \(x < 0\) имеем \(y = -x^5 - x^5 = -2x^5\): \[y = \begin{cases} 0, & \text{если } x \geqslant 0, \\ -2x^5, & \text{если } x < 0. \end{cases}\]
Справа — положительная полуось абсцисс с началом координат, слева — ветвь \(y = -2x^5\) через \((0;\ 0)\) и \((-1;\ 2)\); при \(x < 0\) значения положительны.
Ответ: 1) график функции \(y = |x|x^3\) симметричен относительно начала координат: при \(x \geqslant 0\) он совпадает с графиком функции \(y = x^4\), а при \(x < 0\) — с графиком функции \(y = -x^4\); 2) при \(x \geqslant 0\) график функции \(y = |x|x^4 - x^5\) совпадает с положительной полуосью абсцисс, а при \(x \leqslant 0\) — с графиком функции \(y = -2x^5\).
Постройте график функции: 1) \(y = |x|x^3\); 2) \(y = |x|x^4 - x^5\).
1) \(y = |x|x^3\).
Раскроем модуль: при \(x \geqslant 0\) имеем \(|x| = x\) и \(y = x \cdot x^3 = x^4\); при \(x < 0\) имеем \(|x| = -x\) и \(y = -x \cdot x^3 = -x^4\). Значит,
\[y = \begin{cases} x^4, & \text{если } x \geqslant 0, \\ -x^4, & \text{если } x < 0. \end{cases}\]
Функция нечётная, так как \(|-x| \cdot (-x)^3 = -|x| \cdot x^3\). Поэтому строим часть графика при \(x \geqslant 0\) — это часть графика функции \(y = x^4\), проходящая через точки \((0;\ 0)\) и \((1;\ 1)\), — и отражаем её относительно начала координат. Полученная кривая проходит через точку \((-1;\ -1)\).
2) \(y = |x|x^4 - x^5\).
При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = x^5 - x^5 = 0\), при \(x < 0\) получаем \(y = -x^5 - x^5 = -2x^5\). Значит,
\[y = \begin{cases} 0, & \text{если } x \geqslant 0, \\ -2x^5, & \text{если } x < 0. \end{cases}\]
Правая часть графика — положительная полуось абсцисс вместе с началом координат, левая часть — часть графика функции \(y = -2x^5\), проходящая через точки \((0;\ 0)\) и \((-1;\ 2)\); при \(x < 0\) значения функции положительны.
Ответ: 1) график функции \(y = |x|x^3\) симметричен относительно начала координат: при \(x \geqslant 0\) он совпадает с графиком функции \(y = x^4\), а при \(x < 0\) — с графиком функции \(y = -x^4\); 2) при \(x \geqslant 0\) график функции \(y = |x|x^4 - x^5\) совпадает с положительной полуосью абсцисс, а при \(x \leqslant 0\) — с графиком функции \(y = -2x^5\).
