Страница 77 номер 9.5, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = |x|x^4\); 2) \(y = |x|x^4 + x^5\).
1) \(x^4 = |x|^4\), поэтому \(y = |x|^5\); при \(x \geqslant 0\) это \(x \cdot x^4 = x^5\), при \(x < 0\) это \(-x \cdot x^4 = -x^5\): \[y = \begin{cases} x^5, & \text{если } x \geqslant 0, \\ -x^5, & \text{если } x < 0. \end{cases}\]
Функция чётная: \(|-x| \cdot (-x)^4 = |x| \cdot x^4\). Ветвь \(y = x^5\) при \(x \geqslant 0\) через \((0;\ 0)\) и \((1;\ 1)\) отражаем относительно оси ординат; наименьшее значение 0 при \(x = 0\).
2) При \(x \geqslant 0\) имеем \(y = x^5 + x^5 = 2x^5\), при \(x < 0\) имеем \(y = -x^5 + x^5 = 0\): \[y = \begin{cases} 2x^5, & \text{если } x \geqslant 0, \\ 0, & \text{если } x < 0. \end{cases}\]
Слева — отрицательная полуось абсцисс с началом координат, справа — ветвь \(y = 2x^5\) через \((0;\ 0)\) и \((1;\ 2)\).
Ответ: 1) график функции \(y = |x|x^4\) симметричен относительно оси ординат: при \(x \geqslant 0\) он совпадает с графиком функции \(y = x^5\), а при \(x < 0\) — с графиком функции \(y = -x^5\), наименьшее значение 0 достигается при \(x = 0\); 2) при \(x \leqslant 0\) график функции \(y = |x|x^4 + x^5\) совпадает с отрицательной полуосью абсцисс, а при \(x \geqslant 0\) — с графиком функции \(y = 2x^5\).
Постройте график функции: 1) \(y = |x|x^4\); 2) \(y = |x|x^4 + x^5\).
1) \(y = |x|x^4\).
Так как \(x^4 = |x|^4\), то \(y = |x| \cdot |x|^4 = |x|^5\). Раскроем модуль: при \(x \geqslant 0\) имеем \(|x| = x\) и \(y = x \cdot x^4 = x^5\); при \(x < 0\) имеем \(|x| = -x\) и \(y = -x \cdot x^4 = -x^5\). Значит,
\[y = \begin{cases} x^5, & \text{если } x \geqslant 0, \\ -x^5, & \text{если } x < 0. \end{cases}\]
Функция чётная, так как \(|-x| \cdot (-x)^4 = |x| \cdot x^4\). Поэтому строим часть графика при \(x \geqslant 0\) — это часть графика функции \(y = x^5\), проходящая через точки \((0;\ 0)\) и \((1;\ 1)\), — и отражаем её относительно оси ординат. Все значения функции неотрицательны, наименьшее значение 0 достигается при \(x = 0\).
2) \(y = |x|x^4 + x^5\).
При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = x^5 + x^5 = 2x^5\), при \(x < 0\) получаем \(y = -x^5 + x^5 = 0\). Значит,
\[y = \begin{cases} 2x^5, & \text{если } x \geqslant 0, \\ 0, & \text{если } x < 0. \end{cases}\]
Левая часть графика — отрицательная полуось абсцисс вместе с началом координат, правая часть — часть графика функции \(y = 2x^5\), проходящая через точки \((0;\ 0)\) и \((1;\ 2)\).
Ответ: 1) график функции \(y = |x|x^4\) симметричен относительно оси ординат: при \(x \geqslant 0\) он совпадает с графиком функции \(y = x^5\), а при \(x < 0\) — с графиком функции \(y = -x^5\), наименьшее значение 0 достигается при \(x = 0\); 2) при \(x \leqslant 0\) график функции \(y = |x|x^4 + x^5\) совпадает с отрицательной полуосью абсцисс, а при \(x \geqslant 0\) — с графиком функции \(y = 2x^5\).
