Страница 77 номер 9.4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Следует ли из неравенства \(x_1 > x_2\), что \(x_1^n > x_2^n\), если: 1) \(n\) — чётное; 2) \(n\) — нечётное?
1) При чётном \(n\) не следует.
Контрпример: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -2\); здесь \(x_1 > x_2\), но \(x_1^n = 1\), а \(x_2^n = (-2)^n = 2^n \geqslant 4\), то есть \(x_1^n < x_2^n\).
2) При нечётном \(n\) следует: \(y = x^n\) возрастающая, поэтому из \(x_1 > x_2\) получаем \(x_1^n > x_2^n\).
Ответ: 1) при чётном \(n\) не следует (например, \(1 > -2\), но \(1^n < (-2)^n\)); 2) при нечётном \(n\) следует.
Следует ли из неравенства \(x_1 > x_2\), что \(x_1^n > x_2^n\), если: 1) \(n\) — чётное; 2) \(n\) — нечётное?
1) Пусть \(n\) — чётное натуральное число. Из неравенства \(x_1 > x_2\) неравенство \(x_1^n > x_2^n\) не следует.
Контрпример: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -2\). Здесь \(1 > -2\), то есть \(x_1 > x_2\), но при чётном \(n\) имеем \(x_1^n = 1^n = 1\) и \(x_2^n = (-2)^n = 2^n \geqslant 4\), то есть \(x_1^n < x_2^n\).
2) Пусть \(n\) — нечётное натуральное число. Тогда неравенство \(x_1^n > x_2^n\) следует.
При нечётном \(n\) функция \(y = x^n\) является возрастающей, поэтому большему значению аргумента отвечает большее значение функции: из \(x_1 > x_2\) получаем \(x_1^n > x_2^n\).
Ответ: 1) при чётном \(n\) не следует (например, \(1 > -2\), но \(1^n < (-2)^n\)); 2) при нечётном \(n\) следует.
