Страница 77 номер 9.3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Следует ли из неравенства \(x_1^n > x_2^n\), что \(x_1 > x_2\), если: 1) \(n\) — чётное; 2) \(n\) — нечётное?
1) При чётном \(n\) не следует.
Контрпример: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\); тогда \(x_1^n = (-2)^n = 2^n \geqslant 4\), а \(x_2^n = 1\), то есть \(x_1^n > x_2^n\), но \(x_1 < x_2\).
Причина: при чётном \(n\) функция \(y = x^n\) убывает на \((-\infty;\ 0]\).
2) При нечётном \(n\) следует: \(y = x^n\) возрастающая, поэтому из \(x_1 < x_2\) следовало бы \(x_1^n < x_2^n\), а из \(x_1 = x_2\) — равенство \(x_1^n = x_2^n\); и то и другое противоречит условию.
Ответ: 1) при чётном \(n\) не следует (например, \((-2)^n > 1^n\), но \(-2 < 1\)); 2) при нечётном \(n\) следует.
Следует ли из неравенства \(x_1^n > x_2^n\), что \(x_1 > x_2\), если: 1) \(n\) — чётное; 2) \(n\) — нечётное?
1) Пусть \(n\) — чётное натуральное число. Из неравенства \(x_1^n > x_2^n\) неравенство \(x_1 > x_2\) не следует.
Контрпример: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\). При чётном \(n\) имеем \(x_1^n = (-2)^n = 2^n \geqslant 4\) и \(x_2^n = 1^n = 1\), то есть \(x_1^n > x_2^n\), но при этом \(-2 < 1\), то есть \(x_1 < x_2\).
Причина в том, что при чётном \(n\) функция \(y = x^n\) на промежутке \((-\infty;\ 0]\) убывает, поэтому большему значению степени может отвечать меньшее значение аргумента.
2) Пусть \(n\) — нечётное натуральное число. Тогда неравенство \(x_1 > x_2\) следует.
При нечётном \(n\) функция \(y = x^n\) является возрастающей. Если бы выполнялось неравенство \(x_1 < x_2\), то было бы \(x_1^n < x_2^n\), а если бы выполнялось равенство \(x_1 = x_2\), то было бы \(x_1^n = x_2^n\). И то и другое противоречит условию \(x_1^n > x_2^n\). Значит, \(x_1 > x_2\).
Ответ: 1) при чётном \(n\) не следует (например, \((-2)^n > 1^n\), но \(-2 < 1\)); 2) при нечётном \(n\) следует.
