Страница 78 номер 9.15, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(11x^{15} + 2x^4 = -9\).
При \(x = 0\) левая часть равна 0, а правая \(-9\), значит, \(x \neq 0\) и обе части можно разделить на \(x^{15} \neq 0\): \(11 + \frac{2}{x^{11}} = -\frac{9}{x^{15}}\), откуда \[\frac{9}{x^{15}} + \frac{2}{x^{11}} = -11.\]
Замена \(\frac{1}{x} = t\) (каждому \(x \neq 0\) отвечает единственное \(t \neq 0\), и наоборот): \[9t^{15} + 2t^{11} = -11.\]
Показатели 15 и 11 нечётные, поэтому \(y = t^{15}\) и \(y = t^{11}\) возрастающие; множители 9 и 2 положительны, и сумма \(g(t) = 9t^{15} + 2t^{11}\) возрастает — корень не более одного.
Подбором: \(g(-1) = -9 - 2 = -11\), значит, \(t = -1\) и \(\frac{1}{x} = -1\), откуда \(x = -1\).
Ответ: \(x = -1\).
Решите уравнение \(11x^{15} + 2x^4 = -9\).
\[11x^{15} + 2x^4 = -9.\]
Число 0 корнем уравнения не является: при \(x = 0\) левая часть равна 0, а правая равна \(-9\). Значит, \(x \neq 0\), и обе части уравнения можно разделить на \(x^{15} \neq 0\). Получаем \(11 + \frac{2}{x^{11}} = -\frac{9}{x^{15}}\), откуда \[\frac{9}{x^{15}} + \frac{2}{x^{11}} = -11.\]
Выполним замену \(\frac{1}{x} = t\). Каждому значению \(x \neq 0\) отвечает единственное значение \(t \neq 0\), и наоборот. Получаем уравнение \[9t^{15} + 2t^{11} = -11.\]
Рассмотрим функцию \(g(t) = 9t^{15} + 2t^{11}\). Показатели 15 и 11 — нечётные натуральные числа, поэтому функции \(y = t^{15}\) и \(y = t^{11}\) возрастающие; умножение на положительные числа 9 и 2 возрастание сохраняет, а сумма возрастающих функций возрастает. Значит, уравнение \(g(t) = -11\) имеет не более одного корня.
Подбором находим корень: \(g(-1) = -9 - 2 = -11\).
Значит, \(t = -1\) — единственный корень, и \(\frac{1}{x} = -1\), откуда \(x = -1\).
Ответ: \(x = -1\).
