Вопросы после параграфа §10 на странице 82, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начало математического анализа

Степенной функцией с целым показателем называют функцию, которую можно задать формулой \(y = x^n\), где \(n \in \mathbf{Z}\).

Показатель \(n\) здесь — любое целое число: натуральное, нуль или целое отрицательное. Например, степенными функциями с целым показателем являются \(y = x^4\), \(y = x^0\) и \(y = x^{-3}\), причём \(x^{-3} = \frac{1}{x^3}\).

Свойства такой функции зависят от показателя. При натуральном \(n\) областью определения является множество \(\mathbf{R}\), а при \(n = 0\) и при целом отрицательном \(n\) значение \(x = 0\) из области определения выпадает: нуль в нулевой и в целой отрицательной степени не определён.

Ответ: функцию, которую можно задать формулой \(y = x^n\), где \(n\) — целое число.

Пусть \(n = 2k\), где \(k \in \mathbf{N}\). Запишем функцию в виде \(y = \frac{1}{x^{2k}}\).

Дробь \(\frac{1}{x^{2k}}\) имеет смысл при \(x \ne 0\), поэтому область определения функции — множество \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\).

Показатель \(2k\) — чётное число, поэтому \(x^{2k} > 0\) при любом \(x \ne 0\), а тогда и \(\frac{1}{x^{2k}} > 0\). Значит, нулей функция не имеет, на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\) выполняется неравенство \(y > 0\), и эти промежутки являются промежутками знакопостоянства. Область значений функции — множество \((0;\ +\infty)\): каждое положительное число является значением этой функции.

Для любого \(x\) из области определения выполняются равенства \((-x)^{-2k} = \frac{1}{(-x)^{2k}} = \frac{1}{x^{2k}} = x^{-2k}\), поэтому функция чётная.

Функция возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и убывает на промежутке \((0;\ +\infty)\).

График функции состоит из двух ветвей, лежащих в верхней полуплоскости и симметричных относительно оси ординат: с увеличением модуля \(x\) ветвь неограниченно приближается к оси абсцисс, а вблизи нуля — к оси ординат, но осей не пересекает. При \(n = 2\) получаем знакомую функцию \(y = \frac{1}{x^2}\).

Ответ: область определения — \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\); область значений — \((0;\ +\infty)\); нулей нет; \(y > 0\) на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\); функция чётная; возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и убывает на промежутке \((0;\ +\infty)\).

Пусть \(n = 2k - 1\), где \(k \in \mathbf{N}\). Запишем функцию в виде \(y = \frac{1}{x^{2k-1}}\).

Дробь \(\frac{1}{x^{2k-1}}\) имеет смысл при \(x \ne 0\), поэтому область определения функции — множество \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\).

Нулей функция не имеет: дробь с числителем 1 нулю не равна. Если \(x < 0\), то \(x^{2k-1} < 0\) и \(y < 0\); если \(x > 0\), то \(x^{2k-1} > 0\) и \(y > 0\). Значит, промежутки знакопостоянства — \((-\infty;\ 0)\), где \(y < 0\), и \((0;\ +\infty)\), где \(y > 0\). Область значений функции — множество \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\): каждое отличное от нуля число является значением этой функции.

Для любого \(x\) из области определения выполняются равенства \((-x)^{-(2k-1)} = \frac{1}{(-x)^{2k-1}} = -\frac{1}{x^{2k-1}} = -x^{-(2k-1)}\), поэтому функция нечётная.

Функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\) — именно на каждом из них по отдельности, а не на их объединении.

График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат: одна лежит в первой координатной четверти, другая — в третьей. Каждая ветвь неограниченно приближается к оси абсцисс с увеличением модуля \(x\) и к оси ординат вблизи нуля, но осей не пересекает. При \(n = 1\) получаем знакомую функцию \(y = \frac{1}{x}\).

Ответ: область определения — \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\); область значений — \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\); нулей нет; \(y < 0\) на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и \(y > 0\) на промежутке \((0;\ +\infty)\); функция нечётная; убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\).