Страница 78 номер 9.14, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(5x^{17} - 3x^8 = 2\).
При \(x = 0\) левая часть равна 0, а правая 2, значит, \(x \neq 0\) и обе части можно разделить на \(x^{17} \neq 0\): \(5 - \frac{3}{x^{9}} = \frac{2}{x^{17}}\), откуда \[\frac{2}{x^{17}} + \frac{3}{x^{9}} = 5.\]
Замена \(\frac{1}{x} = t\) (каждому \(x \neq 0\) отвечает единственное \(t \neq 0\), и наоборот): \[2t^{17} + 3t^{9} = 5.\]
Показатели 17 и 9 нечётные, поэтому \(y = t^{17}\) и \(y = t^{9}\) возрастающие; множители 2 и 3 положительны, и сумма \(g(t) = 2t^{17} + 3t^{9}\) возрастает — корень не более одного.
Подбором: \(g(1) = 2 + 3 = 5\), значит, \(t = 1\) и \(\frac{1}{x} = 1\), откуда \(x = 1\).
Ответ: \(x = 1\).
Решите уравнение \(5x^{17} - 3x^8 = 2\).
\[5x^{17} - 3x^8 = 2.\]
Число 0 корнем уравнения не является: при \(x = 0\) левая часть равна 0, а правая равна 2. Значит, \(x \neq 0\), и обе части уравнения можно разделить на \(x^{17} \neq 0\). Получаем \(5 - \frac{3}{x^{9}} = \frac{2}{x^{17}}\), откуда
\[\frac{2}{x^{17}} + \frac{3}{x^{9}} = 5.\]
Выполним замену \(\frac{1}{x} = t\). Каждому значению \(x \neq 0\) отвечает единственное значение \(t \neq 0\), и наоборот. Получаем уравнение
\[2t^{17} + 3t^{9} = 5.\]
Рассмотрим функцию \(g(t) = 2t^{17} + 3t^{9}\). Показатели 17 и 9 — нечётные натуральные числа, поэтому функции \(y = t^{17}\) и \(y = t^{9}\) возрастающие; умножение на положительные числа 2 и 3 возрастание сохраняет, а сумма возрастающих функций возрастает. Значит, уравнение \(g(t) = 5\) имеет не более одного корня.
Подбором находим корень: \(g(1) = 2 + 3 = 5\).
Значит, \(t = 1\) — единственный корень, и \(\frac{1}{x} = 1\), откуда \(x = 1\).
Ответ: \(x = 1\).
