Страница 78 номер 9.13, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^6\) на промежутке \([a;\ 2]\), где \(a < 2\).
\(n = 6\) — чётное, поэтому \(f(x) = x^6\) убывает на \((-\infty;\ 0]\) и возрастает на \([0;\ +\infty)\); \(f(x) \geqslant 0\), \(f(0) = 0\) и \(f(2) = 64\).
При \(a \leqslant 0\) отрезку \([a;\ 2]\) принадлежит 0, поэтому \(\min\limits_{[a;\ 2]} f(x) = f(0) = 0\); наибольшее на \([a;\ 0]\) равно \(f(a) = a^6\), на \([0;\ 2]\) равно \(f(2) = 64\) — сравниваем числа \(a^6\) и 64.
При \(a < -2\) на убывающем промежутке \((-\infty;\ 0]\) имеем \(f(a) > f(-2) = 64\), то есть \(a^6 > 64\), поэтому \(\max\limits_{[a;\ 2]} f(x) = f(a) = a^6\).
При \(-2 \leqslant a \leqslant 0\) имеем \(f(a) \leqslant f(-2) = 64\), то есть \(a^6 \leqslant 64\), поэтому \(\max\limits_{[a;\ 2]} f(x) = f(2) = 64\).
При \(0 < a < 2\) отрезок \([a;\ 2]\) лежит на промежутке возрастания: \(\min\limits_{[a;\ 2]} f(x) = f(a) = a^6\), \(\max\limits_{[a;\ 2]} f(x) = f(2) = 64\).
Ответ: если \(a < -2\), то \(\min\limits_{[a;\ 2]} f(x) = f(0) = 0\), \(\max\limits_{[a;\ 2]} f(x) = f(a) = a^6\); если \(-2 \leqslant a \leqslant 0\), то \(\min\limits_{[a;\ 2]} f(x) = f(0) = 0\), \(\max\limits_{[a;\ 2]} f(x) = f(2) = 64\); если \(0 < a < 2\), то \(\min\limits_{[a;\ 2]} f(x) = f(a) = a^6\), \(\max\limits_{[a;\ 2]} f(x) = f(2) = 64\).
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^6\) на промежутке \([a;\ 2]\), где \(a < 2\).
Показатель степени \(n = 6\) — чётное натуральное число, поэтому функция \(f(x) = x^6\) убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\) и возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\). Кроме того, \(f(x) \geqslant 0\) при любом \(x\), \(f(0) = 0\) и \(f(2) = 64\).
Рассмотрим три случая расположения левого конца отрезка \([a;\ 2]\).
Если \(a \leqslant 0\), то отрезку \([a;\ 2]\) принадлежит число 0, поэтому \(\min\limits_{[a;\ 2]} f(x) = f(0) = 0\). На отрезке \([a;\ 0]\) функция убывает и её наибольшее значение равно \(f(a) = a^6\), на отрезке \([0;\ 2]\) функция возрастает и её наибольшее значение равно \(f(2) = 64\). Остаётся сравнить числа \(a^6\) и 64.
Если \(a < -2\), то, поскольку на промежутке \((-\infty;\ 0]\) функция убывает, \(f(a) > f(-2) = 64\), то есть \(a^6 > 64\). Значит, \(\max\limits_{[a;\ 2]} f(x) = f(a) = a^6\).
Если \(-2 \leqslant a \leqslant 0\), то \(f(a) \leqslant f(-2) = 64\), то есть \(a^6 \leqslant 64\). Значит, \(\max\limits_{[a;\ 2]} f(x) = f(2) = 64\).
Если \(0 < a < 2\), то отрезок \([a;\ 2]\) содержится в промежутке \([0;\ +\infty)\), на котором функция возрастает. Наименьшее значение она принимает в левом конце отрезка, а наибольшее — в правом: \(\min\limits_{[a;\ 2]} f(x) = f(a) = a^6\), \(\max\limits_{[a;\ 2]} f(x) = f(2) = 64\).
Ответ: если \(a < -2\), то \(\min\limits_{[a;\ 2]} f(x) = f(0) = 0\), \(\max\limits_{[a;\ 2]} f(x) = f(a) = a^6\); если \(-2 \leqslant a \leqslant 0\), то \(\min\limits_{[a;\ 2]} f(x) = f(0) = 0\), \(\max\limits_{[a;\ 2]} f(x) = f(2) = 64\); если \(0 < a < 2\), то \(\min\limits_{[a;\ 2]} f(x) = f(a) = a^6\), \(\max\limits_{[a;\ 2]} f(x) = f(2) = 64\).
