Страница 78 номер 9.12, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^8\) на промежутке \([-1;\ a]\), где \(a > -1\).
\(n = 8\) — чётное, поэтому \(f(x) = x^8\) убывает на \((-\infty;\ 0]\) и возрастает на \([0;\ +\infty)\); \(f(x) \geqslant 0\), \(f(0) = 0\) и \(f(-1) = 1\).
При \(-1 < a \leqslant 0\) отрезок \([-1;\ a]\) лежит на промежутке убывания: \(\max\limits_{[-1;\ a]} f(x) = f(-1) = 1\), \(\min\limits_{[-1;\ a]} f(x) = f(a) = a^8\).
При \(a > 0\) отрезку принадлежит 0, поэтому \(\min\limits_{[-1;\ a]} f(x) = f(0) = 0\); наибольшее на \([-1;\ 0]\) равно \(f(-1) = 1\), на \([0;\ a]\) равно \(f(a) = a^8\) — сравниваем числа 1 и \(a^8\).
При \(0 < a \leqslant 1\): \(a^8 \leqslant 1\), поэтому \(\max\limits_{[-1;\ a]} f(x) = f(-1) = 1\).
При \(a > 1\): \(a^8 > 1\), поэтому \(\max\limits_{[-1;\ a]} f(x) = f(a) = a^8\).
Ответ: если \(-1 < a \leqslant 0\), то \(\min\limits_{[-1;\ a]} f(x) = f(a) = a^8\), \(\max\limits_{[-1;\ a]} f(x) = f(-1) = 1\); если \(0 < a \leqslant 1\), то \(\min\limits_{[-1;\ a]} f(x) = f(0) = 0\), \(\max\limits_{[-1;\ a]} f(x) = f(-1) = 1\); если \(a > 1\), то \(\min\limits_{[-1;\ a]} f(x) = f(0) = 0\), \(\max\limits_{[-1;\ a]} f(x) = f(a) = a^8\).
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^8\) на промежутке \([-1;\ a]\), где \(a > -1\).
Показатель степени \(n = 8\) — чётное натуральное число, поэтому функция \(f(x) = x^8\) убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\) и возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\). Кроме того, \(f(x) \geqslant 0\) при любом \(x\), \(f(0) = 0\) и \(f(-1) = 1\).
Рассмотрим три случая расположения правого конца отрезка \([-1;\ a]\).
Если \(-1 < a \leqslant 0\), то отрезок \([-1;\ a]\) содержится в промежутке \((-\infty;\ 0]\), на котором функция убывает. Наибольшее значение она принимает в левом конце отрезка, а наименьшее — в правом: \(\max\limits_{[-1;\ a]} f(x) = f(-1) = 1\), \(\min\limits_{[-1;\ a]} f(x) = f(a) = a^8\).
Если \(a > 0\), то отрезку \([-1;\ a]\) принадлежит число 0, поэтому \(\min\limits_{[-1;\ a]} f(x) = f(0) = 0\). На отрезке \([-1;\ 0]\) функция убывает и её наибольшее значение равно \(f(-1) = 1\), на отрезке \([0;\ a]\) функция возрастает и её наибольшее значение равно \(f(a) = a^8\). Остаётся сравнить числа 1 и \(a^8\).
Если \(0 < a \leqslant 1\), то \(a^8 \leqslant 1\), и наибольшее значение равно \(\max\limits_{[-1;\ a]} f(x) = f(-1) = 1\).
Если \(a > 1\), то \(a^8 > 1\), и наибольшее значение равно \(\max\limits_{[-1;\ a]} f(x) = f(a) = a^8\).
Ответ: если \(-1 < a \leqslant 0\), то \(\min\limits_{[-1;\ a]} f(x) = f(a) = a^8\), \(\max\limits_{[-1;\ a]} f(x) = f(-1) = 1\); если \(0 < a \leqslant 1\), то \(\min\limits_{[-1;\ a]} f(x) = f(0) = 0\), \(\max\limits_{[-1;\ a]} f(x) = f(-1) = 1\); если \(a > 1\), то \(\min\limits_{[-1;\ a]} f(x) = f(0) = 0\), \(\max\limits_{[-1;\ a]} f(x) = f(a) = a^8\).
