Страница 78 номер 9.11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \(4x^3 + x^7 = -5\); 2) \(x^6 + 3x^8 = 4\).
1) Показатели 3 и 7 нечётные, поэтому \(y = x^3\) и \(y = x^7\) возрастающие; из \(x_1 < x_2\) следует \(x_1^3 < x_2^3\) и \(4x_1^3 < 4x_2^3\), то есть \(y = 4x^3\) тоже возрастает, а с ней и сумма \(f(x) = 4x^3 + x^7\) — корень не более одного.
Подбором: \(f(-1) = 4 \cdot (-1)^3 + (-1)^7 = -4 - 1 = -5\), значит, \(x = -1\) — единственный корень.
2) Функция \(f(x) = x^6 + 3x^8\) чётная: \(f(-x) = (-x)^6 + 3(-x)^8 = x^6 + 3x^8 = f(x)\), поэтому вместе с корнем \(x_0\) есть и корень \(-x_0\) — достаточно найти неотрицательные корни.
Показатели 6 и 8 чётные, поэтому на \([0;\ +\infty)\) функции \(y = x^6\) и \(y = 3x^8\) возрастают, а с ними и сумма — корень не более одного.
Подбором: \(f(1) = 1 + 3 = 4\), значит, \(x = 1\) — единственный неотрицательный корень, а вместе с ним корнем является и число \(-1\).
Ответ: 1) \(x = -1\); 2) \(x = -1\); \(x = 1\).
Решите уравнение: 1) \(4x^3 + x^7 = -5\); 2) \(x^6 + 3x^8 = 4\).
1) \(4x^3 + x^7 = -5\).
Рассмотрим функцию \(f(x) = 4x^3 + x^7\). Показатели 3 и 7 — нечётные натуральные числа, поэтому функции \(y = x^3\) и \(y = x^7\) возрастающие. Если \(x_1 < x_2\), то \(x_1^3 < x_2^3\), откуда \(4x_1^3 < 4x_2^3\), то есть функция \(y = 4x^3\) тоже возрастающая. Сумма возрастающих функций возрастает, поэтому данное уравнение имеет не более одного корня.
Подбором находим корень: \(f(-1) = 4 \cdot (-1)^3 + (-1)^7 = -4 - 1 = -5\).
Значит, \(x = -1\) — единственный корень уравнения.
2) \(x^6 + 3x^8 = 4\).
Рассмотрим функцию \(f(x) = x^6 + 3x^8\). Она чётная, так как \(f(-x) = (-x)^6 + 3(-x)^8 = x^6 + 3x^8 = f(x)\). Поэтому вместе с каждым корнем \(x_0\) уравнение имеет и корень \(-x_0\), и достаточно найти неотрицательные корни.
Показатели 6 и 8 — чётные натуральные числа, поэтому на промежутке \([0;\ +\infty)\) функции \(y = x^6\) и \(y = 3x^8\) возрастают, а значит, возрастает и их сумма. Следовательно, на промежутке \([0;\ +\infty)\) уравнение имеет не более одного корня.
Подбором находим: \(f(1) = 1 + 3 = 4\).
Значит, \(x = 1\) — единственный неотрицательный корень, а вместе с ним корнем является и число \(-1\).
Ответ: 1) \(x = -1\); 2) \(x = -1\); \(x = 1\).
