Страница 72 номер 8.9, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \((x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) < 0\); 2) \((x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) \leqslant 0\); 3) \((x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) > 0\); 4) \((x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) \geqslant 0\).
Во всех четырёх пунктах \(f(x) = (x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) = (x - 4)^2(x - 2)(x - 5)\).
Нули \(f\) — числа \(2\), \(4\) и \(5\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ 2)\), \((2;\ 4)\), \((4;\ 5)\), \((5;\ +\infty)\).
\(f(6) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((5;\ +\infty)\);
\(f(4{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((4;\ 5)\);
\(f(3) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((2;\ 4)\);
\(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ 2)\).
1) \(f(x) < 0\) на промежутках \((2;\ 4)\) и \((4;\ 5)\).
2) Добавляем нули \(2\), \(4\) и \(5\): \((2;\ 4) \cup \{4\} \cup (4;\ 5) \cup \{2,\ 5\}\), то есть промежуток \([2;\ 5]\).
3) \(f(x) > 0\) на промежутках \((-\infty;\ 2)\) и \((5;\ +\infty)\).
4) Добавляем нули \(2\), \(4\) и \(5\); число \(4\) не принадлежит ни одному из промежутков \((-\infty;\ 2)\) и \((5;\ +\infty)\), поэтому входит в ответ отдельной точкой.
Ответ: 1) \((2;\ 4) \cup (4;\ 5)\); 2) \([2;\ 5]\); 3) \((-\infty;\ 2) \cup (5;\ +\infty)\); 4) \((-\infty;\ 2] \cup \{4\} \cup [5;\ +\infty)\).
Решите неравенство: 1) \((x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) < 0\); 2) \((x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) \leqslant 0\); 3) \((x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) > 0\); 4) \((x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) \geqslant 0\).
Во всех четырёх пунктах рассматривается функция \(f(x) = (x - 4)^2(x^2 - 7x + 10)\). По теореме Виета корни уравнения \(x^2 - 7x + 10 = 0\) — числа \(2\) и \(5\), поэтому \(f(x) = (x - 4)^2(x - 2)(x - 5)\).
Функция \(f\) непрерывна на \(D(f) = \mathbf{R}\), её нули — числа \(2\), \(4\) и \(5\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ 2)\), \((2;\ 4)\), \((4;\ 5)\), \((5;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(6 \in (5;\ +\infty)\); \(f(6) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (5;\ +\infty)\);
\(4{,}5 \in (4;\ 5)\); \(f(4{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (4;\ 5)\);
\(3 \in (2;\ 4)\); \(f(3) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (2;\ 4)\);
\(0 \in (-\infty;\ 2)\); \(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ 2)\).
1) Неравенству \(f(x) < 0\) удовлетворяют числа из промежутков \((2;\ 4)\) и \((4;\ 5)\).
2) Добавив к множеству решений неравенства \(f(x) < 0\) корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(2\), \(4\) и \(5\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \leqslant 0\): \((2;\ 4) \cup \{4\} \cup (4;\ 5) \cup \{2,\ 5\}\), то есть промежуток \([2;\ 5]\).
3) Неравенству \(f(x) > 0\) удовлетворяют числа из промежутков \((-\infty;\ 2)\) и \((5;\ +\infty)\).
4) Добавив к множеству решений неравенства \(f(x) > 0\) корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(2\), \(4\) и \(5\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \geqslant 0\). Число \(4\) не принадлежит ни одному из промежутков \((-\infty;\ 2)\) и \((5;\ +\infty)\), поэтому оно входит в ответ отдельной точкой.
Ответ: 1) \((2;\ 4) \cup (4;\ 5)\); 2) \([2;\ 5]\); 3) \((-\infty;\ 2) \cup (5;\ +\infty)\); 4) \((-\infty;\ 2] \cup \{4\} \cup [5;\ +\infty)\).
