Страница 72 номер 8.8, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \((x^4 + 1)(5 - 6x)(x - 2) < 0\); 2) \((3x^2 - 5x - 2)(2x^2 + x + 1) < 0\).
1) \(x^4 \geqslant 0\), поэтому \(x^4 + 1 > 0\) при любом \(x\), и знак \(f(x) = (x^4 + 1)(5 - 6x)(x - 2)\) совпадает со знаком произведения \((5 - 6x)(x - 2)\).
Нули \(f\) — числа \(\frac{5}{6}\) и \(2\); промежутки знакопостоянства \(\left(-\infty;\ \frac{5}{6}\right)\), \(\left(\frac{5}{6};\ 2\right)\), \((2;\ +\infty)\).
\(f(3) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((2;\ +\infty)\);
\(f(1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \(\left(\frac{5}{6};\ 2\right)\);
\(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \(\left(-\infty;\ \frac{5}{6}\right)\).
\(f(x) < 0\) на промежутках \(\left(-\infty;\ \frac{5}{6}\right)\) и \((2;\ +\infty)\).
2) \(2x^2 + x + 1 = 2\left(x + \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{7}{8} > 0\) при любом \(x\), поэтому знак \(f(x) = (3x^2 - 5x - 2)(2x^2 + x + 1)\) совпадает со знаком трёхчлена \(3x^2 - 5x - 2\).
Корни уравнения \(3x^2 - 5x - 2 = 0\): \(D = 25 + 24 = 49\), \(x_1 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3}\), \(x_2 = \frac{5 + 7}{6} = 2\). Нули \(f\) — числа \(-\frac{1}{3}\) и \(2\); промежутки знакопостоянства \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{3}\right)\), \(\left(-\frac{1}{3};\ 2\right)\), \((2;\ +\infty)\).
\(f(3) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((2;\ +\infty)\);
\(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \(\left(-\frac{1}{3};\ 2\right)\);
\(f(-1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{3}\right)\).
\(f(x) < 0\) на промежутке \(\left(-\frac{1}{3};\ 2\right)\).
Ответ: 1) \(\left(-\infty;\ \frac{5}{6}\right) \cup (2;\ +\infty)\); 2) \(\left(-\frac{1}{3};\ 2\right)\).
Решите неравенство: 1) \((x^4 + 1)(5 - 6x)(x - 2) < 0\); 2) \((3x^2 - 5x - 2)(2x^2 + x + 1) < 0\).
1) При любом \(x\) выполняется неравенство \(x^4 \geqslant 0\), поэтому \(x^4 + 1 > 0\), и знак функции \(f(x) = (x^4 + 1)(5 - 6x)(x - 2)\) совпадает со знаком произведения \((5 - 6x)(x - 2)\).
Функция \(f\) непрерывна на \(D(f) = \mathbf{R}\), её нули — числа \(\frac{5}{6}\) и \(2\). Промежутки знакопостоянства: \(\left(-\infty;\ \frac{5}{6}\right)\), \(\left(\frac{5}{6};\ 2\right)\), \((2;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(3 \in (2;\ +\infty)\); \(f(3) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (2;\ +\infty)\);
\(1 \in \left(\frac{5}{6};\ 2\right)\); \(f(1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in \left(\frac{5}{6};\ 2\right)\);
\(0 \in \left(-\infty;\ \frac{5}{6}\right)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in \left(-\infty;\ \frac{5}{6}\right)\).
Неравенству \(f(x) < 0\) удовлетворяют числа из промежутков \(\left(-\infty;\ \frac{5}{6}\right)\) и \((2;\ +\infty)\).
2) Выделим квадрат двучлена: \(2x^2 + x + 1 = 2\left(x + \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{7}{8}\). Значит, при любом \(x\) выполняется неравенство \(2x^2 + x + 1 > 0\), и знак функции \(f(x) = (3x^2 - 5x - 2)(2x^2 + x + 1)\) совпадает со знаком трёхчлена \(3x^2 - 5x - 2\).
Корни уравнения \(3x^2 - 5x - 2 = 0\): \(D = 25 + 24 = 49\), \(x_1 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3}\), \(x_2 = \frac{5 + 7}{6} = 2\). Значит, нули функции \(f\), непрерывной на \(D(f) = \mathbf{R}\), — числа \(-\frac{1}{3}\) и \(2\), а промежутки знакопостоянства — \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{3}\right)\), \(\left(-\frac{1}{3};\ 2\right)\), \((2;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(3 \in (2;\ +\infty)\); \(f(3) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (2;\ +\infty)\);
\(0 \in \left(-\frac{1}{3};\ 2\right)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in \left(-\frac{1}{3};\ 2\right)\);
\(-1 \in \left(-\infty;\ -\frac{1}{3}\right)\); \(f(-1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in \left(-\infty;\ -\frac{1}{3}\right)\).
Неравенству \(f(x) < 0\) удовлетворяют числа из промежутка \(\left(-\frac{1}{3};\ 2\right)\).
Ответ: 1) \(\left(-\infty;\ \frac{5}{6}\right) \cup (2;\ +\infty)\); 2) \(\left(-\frac{1}{3};\ 2\right)\).
