Страница 72 номер 8.10, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \((x - 3)^2(x^2 + x - 2) < 0\); 2) \((x - 3)^2(x^2 + x - 2) \leqslant 0\); 3) \((x - 3)^2(x^2 + x - 2) > 0\); 4) \((x - 3)^2(x^2 + x - 2) \geqslant 0\).
Во всех четырёх пунктах \(f(x) = (x - 3)^2(x^2 + x - 2) = (x - 3)^2(x + 2)(x - 1)\).
Нули \(f\) — числа \(-2\), \(1\) и \(3\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -2)\), \((-2;\ 1)\), \((1;\ 3)\), \((3;\ +\infty)\).
\(f(4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((3;\ +\infty)\);
\(f(2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((1;\ 3)\);
\(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-2;\ 1)\);
\(f(-3) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ -2)\).
1) \(f(x) < 0\) на промежутке \((-2;\ 1)\).
2) Добавляем нули \(-2\), \(1\) и \(3\); число \(3\) не принадлежит промежутку \((-2;\ 1)\), поэтому входит в ответ отдельной точкой.
3) \(f(x) > 0\) на промежутках \((-\infty;\ -2)\), \((1;\ 3)\) и \((3;\ +\infty)\).
4) Добавляем нули \(-2\), \(1\) и \(3\): \((-\infty;\ -2] \cup [1;\ 3) \cup \{3\} \cup (3;\ +\infty)\), то есть \((-\infty;\ -2] \cup [1;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \((-2;\ 1)\); 2) \([-2;\ 1] \cup \{3\}\); 3) \((-\infty;\ -2) \cup (1;\ 3) \cup (3;\ +\infty)\); 4) \((-\infty;\ -2] \cup [1;\ +\infty)\).
Решите неравенство: 1) \((x - 3)^2(x^2 + x - 2) < 0\); 2) \((x - 3)^2(x^2 + x - 2) \leqslant 0\); 3) \((x - 3)^2(x^2 + x - 2) > 0\); 4) \((x - 3)^2(x^2 + x - 2) \geqslant 0\).
Во всех четырёх пунктах рассматривается функция \(f(x) = (x - 3)^2(x^2 + x - 2)\). По теореме Виета корни уравнения \(x^2 + x - 2 = 0\) — числа \(-2\) и \(1\), поэтому \(f(x) = (x - 3)^2(x + 2)(x - 1)\).
Функция \(f\) непрерывна на \(D(f) = \mathbf{R}\), её нули — числа \(-2\), \(1\) и \(3\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -2)\), \((-2;\ 1)\), \((1;\ 3)\), \((3;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(4 \in (3;\ +\infty)\); \(f(4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (3;\ +\infty)\);
\(2 \in (1;\ 3)\); \(f(2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (1;\ 3)\);
\(0 \in (-2;\ 1)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-2;\ 1)\);
\(-3 \in (-\infty;\ -2)\); \(f(-3) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -2)\).
1) Неравенству \(f(x) < 0\) удовлетворяют числа из промежутка \((-2;\ 1)\).
2) Добавив к множеству решений неравенства \(f(x) < 0\) корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(-2\), \(1\) и \(3\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \leqslant 0\). Число \(3\) не принадлежит промежутку \((-2;\ 1)\), поэтому оно входит в ответ отдельной точкой.
3) Неравенству \(f(x) > 0\) удовлетворяют числа из промежутков \((-\infty;\ -2)\), \((1;\ 3)\) и \((3;\ +\infty)\).
4) Добавив к множеству решений неравенства \(f(x) > 0\) корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(-2\), \(1\) и \(3\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \geqslant 0\): \((-\infty;\ -2] \cup [1;\ 3) \cup \{3\} \cup (3;\ +\infty)\), то есть \((-\infty;\ -2] \cup [1;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \((-2;\ 1)\); 2) \([-2;\ 1] \cup \{3\}\); 3) \((-\infty;\ -2) \cup (1;\ 3) \cup (3;\ +\infty)\); 4) \((-\infty;\ -2] \cup [1;\ +\infty)\).
