Страница 72 номер 8.7, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \((2x + 1)(x - 3)(x^2 + 4) < 0\); 2) \((2 - x)(3x + 5)(x^2 - x + 1) > 0\).
1) \(x^2 + 4 > 0\) при любом \(x\), поэтому знак \(f(x) = (2x + 1)(x - 3)(x^2 + 4)\) совпадает со знаком произведения \((2x + 1)(x - 3)\).
Нули \(f\) — числа \(-\frac{1}{2}\) и \(3\); промежутки знакопостоянства \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{2}\right)\), \(\left(-\frac{1}{2};\ 3\right)\), \((3;\ +\infty)\).
\(f(4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((3;\ +\infty)\);
\(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \(\left(-\frac{1}{2};\ 3\right)\);
\(f(-1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{2}\right)\).
\(f(x) < 0\) на промежутке \(\left(-\frac{1}{2};\ 3\right)\).
2) \(x^2 - x + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0\) при любом \(x\), поэтому знак \(f(x) = (2 - x)(3x + 5)(x^2 - x + 1)\) совпадает со знаком произведения \((2 - x)(3x + 5)\).
Нули \(f\) — числа \(-\frac{5}{3}\) и \(2\); промежутки знакопостоянства \(\left(-\infty;\ -\frac{5}{3}\right)\), \(\left(-\frac{5}{3};\ 2\right)\), \((2;\ +\infty)\).
\(f(3) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((2;\ +\infty)\);
\(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \(\left(-\frac{5}{3};\ 2\right)\);
\(f(-2) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \(\left(-\infty;\ -\frac{5}{3}\right)\).
\(f(x) > 0\) на промежутке \(\left(-\frac{5}{3};\ 2\right)\).
Ответ: 1) \(\left(-\frac{1}{2};\ 3\right)\); 2) \(\left(-\frac{5}{3};\ 2\right)\).
Решите неравенство: 1) \((2x + 1)(x - 3)(x^2 + 4) < 0\); 2) \((2 - x)(3x + 5)(x^2 - x + 1) > 0\).
1) При любом \(x\) выполняется неравенство \(x^2 + 4 > 0\), поэтому знак функции \(f(x) = (2x + 1)(x - 3)(x^2 + 4)\) совпадает со знаком произведения \((2x + 1)(x - 3)\).
Функция \(f\) непрерывна на \(D(f) = \mathbf{R}\), её нули — числа \(-\frac{1}{2}\) и \(3\). Промежутки знакопостоянства: \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{2}\right)\), \(\left(-\frac{1}{2};\ 3\right)\), \((3;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(4 \in (3;\ +\infty)\); \(f(4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (3;\ +\infty)\);
\(0 \in \left(-\frac{1}{2};\ 3\right)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in \left(-\frac{1}{2};\ 3\right)\);
\(-1 \in \left(-\infty;\ -\frac{1}{2}\right)\); \(f(-1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in \left(-\infty;\ -\frac{1}{2}\right)\).
Неравенству \(f(x) < 0\) удовлетворяют числа из промежутка \(\left(-\frac{1}{2};\ 3\right)\).
2) Выделим квадрат двучлена: \(x^2 - x + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\). Значит, при любом \(x\) выполняется неравенство \(x^2 - x + 1 > 0\), и знак функции \(f(x) = (2 - x)(3x + 5)(x^2 - x + 1)\) совпадает со знаком произведения \((2 - x)(3x + 5)\).
Функция \(f\) непрерывна на \(D(f) = \mathbf{R}\), её нули — числа \(-\frac{5}{3}\) и \(2\). Промежутки знакопостоянства: \(\left(-\infty;\ -\frac{5}{3}\right)\), \(\left(-\frac{5}{3};\ 2\right)\), \((2;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(3 \in (2;\ +\infty)\); \(f(3) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (2;\ +\infty)\);
\(0 \in \left(-\frac{5}{3};\ 2\right)\); \(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in \left(-\frac{5}{3};\ 2\right)\);
\(-2 \in \left(-\infty;\ -\frac{5}{3}\right)\); \(f(-2) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in \left(-\infty;\ -\frac{5}{3}\right)\).
Неравенству \(f(x) > 0\) удовлетворяют числа из промежутка \(\left(-\frac{5}{3};\ 2\right)\).
Ответ: 1) \(\left(-\frac{1}{2};\ 3\right)\); 2) \(\left(-\frac{5}{3};\ 2\right)\).
