Страница 72 номер 8.6, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите множество решений неравенства: 1) \((x^2 + 7x)(x^2 - 7x + 6) < 0\); 2) \(\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 36} \leqslant 0\); 3) \(\frac{3x^2 + 2x - 1}{4x^2 - x - 3} \geqslant 0\).
1) \(x^2 + 7x = x(x + 7)\), \(x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6)\), поэтому неравенство принимает вид \(x(x + 7)(x - 1)(x - 6) < 0\).
Нули \(f(x) = x(x + 7)(x - 1)(x - 6)\) — числа \(-7\), \(0\), \(1\) и \(6\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -7)\), \((-7;\ 0)\), \((0;\ 1)\), \((1;\ 6)\), \((6;\ +\infty)\).
\(f(7) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((6;\ +\infty)\);
\(f(2) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((1;\ 6)\);
\(f(0{,}5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((0;\ 1)\);
\(f(-1) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-7;\ 0)\);
\(f(-8) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ -7)\).
\(f(x) < 0\) на промежутках \((-7;\ 0)\) и \((1;\ 6)\).
2) \(x^2 - x - 12 = (x + 3)(x - 4)\), \(x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)\), поэтому неравенство принимает вид \(\frac{(x + 3)(x - 4)}{(x - 6)(x + 6)} \leqslant 0\).
\(D(f) = (-\infty;\ -6) \cup (-6;\ 6) \cup (6;\ +\infty)\), нули — числа \(-3\) и \(4\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -6)\), \((-6;\ -3)\), \((-3;\ 4)\), \((4;\ 6)\), \((6;\ +\infty)\).
\(f(7) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((6;\ +\infty)\);
\(f(5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((4;\ 6)\);
\(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-3;\ 4)\);
\(f(-4) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-6;\ -3)\);
\(f(-7) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ -6)\).
\(f(x) < 0\) на \((-6;\ -3) \cup (4;\ 6)\); добавляем нули \(-3\) и \(4\).
3) Корни уравнения \(3x^2 + 2x - 1 = 0\): \(D = 4 + 12 = 16\), \(x_1 = \frac{-2 - 4}{6} = -1\), \(x_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3}\), поэтому \(3x^2 + 2x - 1 = (x + 1)(3x - 1)\).
Корни уравнения \(4x^2 - x - 3 = 0\): \(D = 1 + 48 = 49\), \(x_1 = \frac{1 - 7}{8} = -\frac{3}{4}\), \(x_2 = \frac{1 + 7}{8} = 1\), поэтому \(4x^2 - x - 3 = (4x + 3)(x - 1)\). Неравенство принимает вид \(\frac{(x + 1)(3x - 1)}{(4x + 3)(x - 1)} \geqslant 0\).
\(D(f) = \left(-\infty;\ -\frac{3}{4}\right) \cup \left(-\frac{3}{4};\ 1\right) \cup (1;\ +\infty)\), нули — числа \(-1\) и \(\frac{1}{3}\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -1)\), \(\left(-1;\ -\frac{3}{4}\right)\), \(\left(-\frac{3}{4};\ \frac{1}{3}\right)\), \(\left(\frac{1}{3};\ 1\right)\), \((1;\ +\infty)\).
\(f(2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((1;\ +\infty)\);
\(f(0{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \(\left(\frac{1}{3};\ 1\right)\);
\(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \(\left(-\frac{3}{4};\ \frac{1}{3}\right)\);
\(f(-0{,}8) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \(\left(-1;\ -\frac{3}{4}\right)\);
\(f(-2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ -1)\).
\(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ -1) \cup \left(-\frac{3}{4};\ \frac{1}{3}\right) \cup (1;\ +\infty)\); добавляем нули \(-1\) и \(\frac{1}{3}\).
Ответ: 1) \((-7;\ 0) \cup (1;\ 6)\); 2) \((-6;\ -3] \cup [4;\ 6)\); 3) \((-\infty;\ -1] \cup \left(-\frac{3}{4};\ \frac{1}{3}\right] \cup (1;\ +\infty)\).
Найдите множество решений неравенства: 1) \((x^2 + 7x)(x^2 - 7x + 6) < 0\); 2) \(\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 36} \leqslant 0\); 3) \(\frac{3x^2 + 2x - 1}{4x^2 - x - 3} \geqslant 0\).
1) Разложим каждый множитель: \(x^2 + 7x = x(x + 7)\), а \(x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6)\), так как по теореме Виета корни уравнения \(x^2 - 7x + 6 = 0\) — числа \(1\) и \(6\). Неравенство принимает вид \(x(x + 7)(x - 1)(x - 6) < 0\).
Нули функции \(f(x) = x(x + 7)(x - 1)(x - 6)\), непрерывной на \(D(f) = \mathbf{R}\), — числа \(-7\), \(0\), \(1\) и \(6\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -7)\), \((-7;\ 0)\), \((0;\ 1)\), \((1;\ 6)\), \((6;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(7 \in (6;\ +\infty)\); \(f(7) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (6;\ +\infty)\);
\(2 \in (1;\ 6)\); \(f(2) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (1;\ 6)\);
\(0{,}5 \in (0;\ 1)\); \(f(0{,}5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (0;\ 1)\);
\(-1 \in (-7;\ 0)\); \(f(-1) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-7;\ 0)\);
\(-8 \in (-\infty;\ -7)\); \(f(-8) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -7)\).
Неравенству \(f(x) < 0\) удовлетворяют числа из промежутков \((-7;\ 0)\) и \((1;\ 6)\).
2) По теореме Виета корни уравнения \(x^2 - x - 12 = 0\) — числа \(-3\) и \(4\), поэтому \(x^2 - x - 12 = (x + 3)(x - 4)\); кроме того, \(x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)\). Неравенство принимает вид \(\frac{(x + 3)(x - 4)}{(x - 6)(x + 6)} \leqslant 0\).
Функция \(f(x) = \frac{(x + 3)(x - 4)}{(x - 6)(x + 6)}\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ -6) \cup (-6;\ 6) \cup (6;\ +\infty)\), её нули — числа \(-3\) и \(4\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -6)\), \((-6;\ -3)\), \((-3;\ 4)\), \((4;\ 6)\), \((6;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(7 \in (6;\ +\infty)\); \(f(7) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (6;\ +\infty)\);
\(5 \in (4;\ 6)\); \(f(5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (4;\ 6)\);
\(0 \in (-3;\ 4)\); \(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-3;\ 4)\);
\(-4 \in (-6;\ -3)\); \(f(-4) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-6;\ -3)\);
\(-7 \in (-\infty;\ -6)\); \(f(-7) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -6)\).
Множество решений неравенства \(f(x) < 0\) — это \((-6;\ -3) \cup (4;\ 6)\). Добавив к нему корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(-3\) и \(4\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \leqslant 0\).
3) Разложим числитель и знаменатель на множители. Корни уравнения \(3x^2 + 2x - 1 = 0\): \(D = 4 + 12 = 16\), \(x_1 = \frac{-2 - 4}{6} = -1\), \(x_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3}\), поэтому \(3x^2 + 2x - 1 = (x + 1)(3x - 1)\). Корни уравнения \(4x^2 - x - 3 = 0\): \(D = 1 + 48 = 49\), \(x_1 = \frac{1 - 7}{8} = -\frac{3}{4}\), \(x_2 = \frac{1 + 7}{8} = 1\), поэтому \(4x^2 - x - 3 = (4x + 3)(x - 1)\). Неравенство принимает вид \(\frac{(x + 1)(3x - 1)}{(4x + 3)(x - 1)} \geqslant 0\).
Функция \(f(x) = \frac{(x + 1)(3x - 1)}{(4x + 3)(x - 1)}\) непрерывна на \(D(f) = \left(-\infty;\ -\frac{3}{4}\right) \cup \left(-\frac{3}{4};\ 1\right) \cup (1;\ +\infty)\), её нули — числа \(-1\) и \(\frac{1}{3}\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -1)\), \(\left(-1;\ -\frac{3}{4}\right)\), \(\left(-\frac{3}{4};\ \frac{1}{3}\right)\), \(\left(\frac{1}{3};\ 1\right)\), \((1;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(2 \in (1;\ +\infty)\); \(f(2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (1;\ +\infty)\);
\(0{,}5 \in \left(\frac{1}{3};\ 1\right)\); \(f(0{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in \left(\frac{1}{3};\ 1\right)\);
\(0 \in \left(-\frac{3}{4};\ \frac{1}{3}\right)\); \(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in \left(-\frac{3}{4};\ \frac{1}{3}\right)\);
\(-0{,}8 \in \left(-1;\ -\frac{3}{4}\right)\); \(f(-0{,}8) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in \left(-1;\ -\frac{3}{4}\right)\);
\(-2 \in (-\infty;\ -1)\); \(f(-2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -1)\).
Множество решений неравенства \(f(x) > 0\) — это \((-\infty;\ -1) \cup \left(-\frac{3}{4};\ \frac{1}{3}\right) \cup (1;\ +\infty)\). Добавив к нему корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(-1\) и \(\frac{1}{3}\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \geqslant 0\).
Ответ: 1) \((-7;\ 0) \cup (1;\ 6)\); 2) \((-6;\ -3] \cup [4;\ 6)\); 3) \((-\infty;\ -1] \cup \left(-\frac{3}{4};\ \frac{1}{3}\right] \cup (1;\ +\infty)\).
