Страница 71 номер 8.5, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\frac{x^2 - 4}{x^2 - 9} > 0\); 2) \(\frac{x^2 - 3x}{x^2 - 8x + 7} \leqslant 0\); 3) \(\frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 3x - 4} \geqslant 0\).
1) \(\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 3)(x + 3)} > 0\).
\(D(f) = (-\infty;\ -3) \cup (-3;\ 3) \cup (3;\ +\infty)\), нули — числа \(-2\) и \(2\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -3)\), \((-3;\ -2)\), \((-2;\ 2)\), \((2;\ 3)\), \((3;\ +\infty)\).
\(f(4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((3;\ +\infty)\);
\(f(2{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((2;\ 3)\);
\(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-2;\ 2)\);
\(f(-2{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-3;\ -2)\);
\(f(-4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ -3)\).
\(f(x) > 0\) на промежутках \((-\infty;\ -3)\), \((-2;\ 2)\) и \((3;\ +\infty)\).
2) \(x^2 - 3x = x(x - 3)\), \(x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7)\), поэтому неравенство принимает вид \(\frac{x(x - 3)}{(x - 1)(x - 7)} \leqslant 0\).
\(D(f) = (-\infty;\ 1) \cup (1;\ 7) \cup (7;\ +\infty)\), нули — числа \(0\) и \(3\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ 0)\), \((0;\ 1)\), \((1;\ 3)\), \((3;\ 7)\), \((7;\ +\infty)\).
\(f(8) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((7;\ +\infty)\);
\(f(4) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((3;\ 7)\);
\(f(2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((1;\ 3)\);
\(f(0{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((0;\ 1)\);
\(f(-1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ 0)\).
\(f(x) < 0\) на \((0;\ 1) \cup (3;\ 7)\); добавляем нули \(0\) и \(3\).
3) Корни уравнения \(2x^2 - 5x + 2 = 0\): \(D = 25 - 16 = 9\), \(x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}\), \(x_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2\), поэтому \(2x^2 - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2)\); корни уравнения \(x^2 - 3x - 4 = 0\) — числа \(-1\) и \(4\), поэтому \(x^2 - 3x - 4 = (x + 1)(x - 4)\). Неравенство принимает вид \(\frac{(2x - 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 4)} \geqslant 0\).
\(D(f) = (-\infty;\ -1) \cup (-1;\ 4) \cup (4;\ +\infty)\), нули — числа \(\frac{1}{2}\) и \(2\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -1)\), \(\left(-1;\ \frac{1}{2}\right)\), \(\left(\frac{1}{2};\ 2\right)\), \((2;\ 4)\), \((4;\ +\infty)\).
\(f(5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((4;\ +\infty)\);
\(f(3) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((2;\ 4)\);
\(f(1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \(\left(\frac{1}{2};\ 2\right)\);
\(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \(\left(-1;\ \frac{1}{2}\right)\);
\(f(-2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ -1)\).
\(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ -1) \cup \left(\frac{1}{2};\ 2\right) \cup (4;\ +\infty)\); добавляем нули \(\frac{1}{2}\) и \(2\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ -3) \cup (-2;\ 2) \cup (3;\ +\infty)\); 2) \([0;\ 1) \cup [3;\ 7)\); 3) \((-\infty;\ -1) \cup \left[\frac{1}{2};\ 2\right] \cup (4;\ +\infty)\).
Решите неравенство: 1) \(\frac{x^2 - 4}{x^2 - 9} > 0\); 2) \(\frac{x^2 - 3x}{x^2 - 8x + 7} \leqslant 0\); 3) \(\frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 3x - 4} \geqslant 0\).
1) Разложим числитель и знаменатель на множители: неравенство принимает вид \(\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 3)(x + 3)} > 0\).
Функция \(f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 3)(x + 3)}\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ -3) \cup (-3;\ 3) \cup (3;\ +\infty)\), её нули — числа \(-2\) и \(2\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -3)\), \((-3;\ -2)\), \((-2;\ 2)\), \((2;\ 3)\), \((3;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(4 \in (3;\ +\infty)\); \(f(4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (3;\ +\infty)\);
\(2{,}5 \in (2;\ 3)\); \(f(2{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (2;\ 3)\);
\(0 \in (-2;\ 2)\); \(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-2;\ 2)\);
\(-2{,}5 \in (-3;\ -2)\); \(f(-2{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-3;\ -2)\);
\(-4 \in (-\infty;\ -3)\); \(f(-4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -3)\).
Неравенству \(f(x) > 0\) удовлетворяют числа из промежутков \((-\infty;\ -3)\), \((-2;\ 2)\) и \((3;\ +\infty)\).
2) Разложим числитель и знаменатель на множители: \(x^2 - 3x = x(x - 3)\), а \(x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7)\), так как по теореме Виета корни уравнения \(x^2 - 8x + 7 = 0\) — числа \(1\) и \(7\). Неравенство принимает вид \(\frac{x(x - 3)}{(x - 1)(x - 7)} \leqslant 0\).
Функция \(f(x) = \frac{x(x - 3)}{(x - 1)(x - 7)}\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ 1) \cup (1;\ 7) \cup (7;\ +\infty)\), её нули — числа \(0\) и \(3\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ 0)\), \((0;\ 1)\), \((1;\ 3)\), \((3;\ 7)\), \((7;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(8 \in (7;\ +\infty)\); \(f(8) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (7;\ +\infty)\);
\(4 \in (3;\ 7)\); \(f(4) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (3;\ 7)\);
\(2 \in (1;\ 3)\); \(f(2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (1;\ 3)\);
\(0{,}5 \in (0;\ 1)\); \(f(0{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (0;\ 1)\);
\(-1 \in (-\infty;\ 0)\); \(f(-1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ 0)\).
Множество решений неравенства \(f(x) < 0\) — это \((0;\ 1) \cup (3;\ 7)\). Добавив к нему корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(0\) и \(3\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \leqslant 0\).
3) Разложим числитель и знаменатель на множители. Корни уравнения \(2x^2 - 5x + 2 = 0\): \(D = 25 - 16 = 9\), \(x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}\), \(x_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2\), поэтому \(2x^2 - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2)\). По теореме Виета корни уравнения \(x^2 - 3x - 4 = 0\) — числа \(-1\) и \(4\), поэтому \(x^2 - 3x - 4 = (x + 1)(x - 4)\). Неравенство принимает вид \(\frac{(2x - 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 4)} \geqslant 0\).
Функция \(f(x) = \frac{(2x - 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 4)}\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ -1) \cup (-1;\ 4) \cup (4;\ +\infty)\), её нули — числа \(\frac{1}{2}\) и \(2\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -1)\), \(\left(-1;\ \frac{1}{2}\right)\), \(\left(\frac{1}{2};\ 2\right)\), \((2;\ 4)\), \((4;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(5 \in (4;\ +\infty)\); \(f(5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (4;\ +\infty)\);
\(3 \in (2;\ 4)\); \(f(3) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (2;\ 4)\);
\(1 \in \left(\frac{1}{2};\ 2\right)\); \(f(1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in \left(\frac{1}{2};\ 2\right)\);
\(0 \in \left(-1;\ \frac{1}{2}\right)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in \left(-1;\ \frac{1}{2}\right)\);
\(-2 \in (-\infty;\ -1)\); \(f(-2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -1)\).
Множество решений неравенства \(f(x) > 0\) — это \((-\infty;\ -1) \cup \left(\frac{1}{2};\ 2\right) \cup (4;\ +\infty)\). Добавив к нему корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(\frac{1}{2}\) и \(2\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \geqslant 0\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ -3) \cup (-2;\ 2) \cup (3;\ +\infty)\); 2) \([0;\ 1) \cup [3;\ 7)\); 3) \((-\infty;\ -1) \cup \left[\frac{1}{2};\ 2\right] \cup (4;\ +\infty)\).
