Страница 71 номер 8.4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

1) Числитель и знаменатель дроби \(\frac{x + 3}{x - 1}\) — многочлены, поэтому функция \(f(x) = \frac{x + 3}{x - 1}\) непрерывна на своей области определения \(D(f) = (-\infty;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\). Нуль функции — число \(-3\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -3)\), \((-3;\ 1)\), \((1;\ +\infty)\).

Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:

\(2 \in (1;\ +\infty)\); \(f(2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (1;\ +\infty)\);
\(0 \in (-3;\ 1)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-3;\ 1)\);
\(-4 \in (-\infty;\ -3)\); \(f(-4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -3)\).

Неравенству \(f(x) > 0\) удовлетворяют числа из промежутков \((-\infty;\ -3)\) и \((1;\ +\infty)\).

2) Функция \(f(x) = \frac{x - 4}{x}\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\), её нуль — число \(4\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ 0)\), \((0;\ 4)\), \((4;\ +\infty)\).

Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:

\(5 \in (4;\ +\infty)\); \(f(5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (4;\ +\infty)\);
\(1 \in (0;\ 4)\); \(f(1) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (0;\ 4)\);
\(-1 \in (-\infty;\ 0)\); \(f(-1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ 0)\).

Множество решений неравенства \(f(x) > 0\) — это \((-\infty;\ 0) \cup (4;\ +\infty)\). Добавив к нему корень уравнения \(f(x) = 0\), то есть число \(4\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \geqslant 0\).

3) Функция \(f(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 4}\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ 4) \cup (4;\ +\infty)\), её нули — числа \(-1\) и \(2\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -1)\), \((-1;\ 2)\), \((2;\ 4)\), \((4;\ +\infty)\).

Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:

\(5 \in (4;\ +\infty)\); \(f(5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (4;\ +\infty)\);
\(3 \in (2;\ 4)\); \(f(3) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (2;\ 4)\);
\(0 \in (-1;\ 2)\); \(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-1;\ 2)\);
\(-2 \in (-\infty;\ -1)\); \(f(-2) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -1)\).

Неравенству \(f(x) < 0\) удовлетворяют числа из промежутков \((-\infty;\ -1)\) и \((2;\ 4)\).

4) Функция \(f(x) = \frac{(x + 1{,}2)(x - 1{,}6)}{x - 1{,}4}\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ 1{,}4) \cup (1{,}4;\ +\infty)\), её нули — числа \(-1{,}2\) и \(1{,}6\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -1{,}2)\), \((-1{,}2;\ 1{,}4)\), \((1{,}4;\ 1{,}6)\), \((1{,}6;\ +\infty)\).

Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:

\(2 \in (1{,}6;\ +\infty)\); \(f(2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (1{,}6;\ +\infty)\);
\(1{,}5 \in (1{,}4;\ 1{,}6)\); \(f(1{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (1{,}4;\ 1{,}6)\);
\(0 \in (-1{,}2;\ 1{,}4)\); \(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-1{,}2;\ 1{,}4)\);
\(-2 \in (-\infty;\ -1{,}2)\); \(f(-2) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -1{,}2)\).

Множество решений неравенства \(f(x) < 0\) — это \((-\infty;\ -1{,}2) \cup (1{,}4;\ 1{,}6)\). Добавив к нему корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(-1{,}2\) и \(1{,}6\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \leqslant 0\).

5) Функция \(f(x) = \frac{(3x - 2)(4 - x)}{(x + 3)(x - 1)}\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ -3) \cup (-3;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\), её нули — числа \(\frac{2}{3}\) и \(4\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -3)\), \(\left(-3;\ \frac{2}{3}\right)\), \(\left(\frac{2}{3};\ 1\right)\), \((1;\ 4)\), \((4;\ +\infty)\).

Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:

\(5 \in (4;\ +\infty)\); \(f(5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (4;\ +\infty)\);
\(2 \in (1;\ 4)\); \(f(2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (1;\ 4)\);
\(0{,}8 \in \left(\frac{2}{3};\ 1\right)\); \(f(0{,}8) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in \left(\frac{2}{3};\ 1\right)\);
\(0 \in \left(-3;\ \frac{2}{3}\right)\); \(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in \left(-3;\ \frac{2}{3}\right)\);
\(-4 \in (-\infty;\ -3)\); \(f(-4) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -3)\).

Неравенству \(f(x) > 0\) удовлетворяют числа из промежутков \(\left(-3;\ \frac{2}{3}\right)\) и \((1;\ 4)\).

6) Функция \(f(x) = \frac{(x + 1)(3 - x)}{(3x - 2)(4 - 3x)}\) непрерывна на \(D(f) = \left(-\infty;\ \frac{2}{3}\right) \cup \left(\frac{2}{3};\ \frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{4}{3};\ +\infty\right)\), её нули — числа \(-1\) и \(3\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -1)\), \(\left(-1;\ \frac{2}{3}\right)\), \(\left(\frac{2}{3};\ \frac{4}{3}\right)\), \(\left(\frac{4}{3};\ 3\right)\), \((3;\ +\infty)\).

Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:

\(4 \in (3;\ +\infty)\); \(f(4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (3;\ +\infty)\);
\(2 \in \left(\frac{4}{3};\ 3\right)\); \(f(2) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in \left(\frac{4}{3};\ 3\right)\);
\(1 \in \left(\frac{2}{3};\ \frac{4}{3}\right)\); \(f(1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in \left(\frac{2}{3};\ \frac{4}{3}\right)\);
\(0 \in \left(-1;\ \frac{2}{3}\right)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in \left(-1;\ \frac{2}{3}\right)\);
\(-2 \in (-\infty;\ -1)\); \(f(-2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -1)\).

Множество решений неравенства \(f(x) > 0\) — это \((-\infty;\ -1) \cup \left(\frac{2}{3};\ \frac{4}{3}\right) \cup (3;\ +\infty)\). Добавив к нему корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(-1\) и \(3\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \geqslant 0\).

Ответ: 1) \((-\infty;\ -3) \cup (1;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ 0) \cup [4;\ +\infty)\); 3) \((-\infty;\ -1) \cup (2;\ 4)\); 4) \((-\infty;\ -1{,}2] \cup (1{,}4;\ 1{,}6]\); 5) \(\left(-3;\ \frac{2}{3}\right) \cup (1;\ 4)\); 6) \((-\infty;\ -1] \cup \left(\frac{2}{3};\ \frac{4}{3}\right) \cup [3;\ +\infty)\).