Страница 71 номер 8.3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите множество решений неравенства: 1) \(\frac{x - 8}{x + 7} < 0\); 2) \(\frac{x + 9}{x - 11} > 0\); 3) \(\frac{x + 5{,}2}{x - 1{,}4} \leqslant 0\); 4) \(\frac{5 - x}{x - 6} \geqslant 0\); 5) \(\frac{(x + 15)(x - 2)}{x - 15} \geqslant 0\); 6) \(\frac{x - 3{,}8}{(x + 5)(x - 16)} \leqslant 0\).
1) \(f(x) = \frac{x - 8}{x + 7}\): \(D(f) = (-\infty;\ -7) \cup (-7;\ +\infty)\), нуль — число \(8\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -7)\), \((-7;\ 8)\), \((8;\ +\infty)\).
\(f(9) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((8;\ +\infty)\);
\(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-7;\ 8)\);
\(f(-8) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ -7)\).
\(f(x) < 0\) на промежутке \((-7;\ 8)\).
2) \(f(x) = \frac{x + 9}{x - 11}\): \(D(f) = (-\infty;\ 11) \cup (11;\ +\infty)\), нуль — число \(-9\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -9)\), \((-9;\ 11)\), \((11;\ +\infty)\).
\(f(12) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((11;\ +\infty)\);
\(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-9;\ 11)\);
\(f(-10) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ -9)\).
\(f(x) > 0\) на промежутках \((-\infty;\ -9)\) и \((11;\ +\infty)\).
3) \(f(x) = \frac{x + 5{,}2}{x - 1{,}4}\): \(D(f) = (-\infty;\ 1{,}4) \cup (1{,}4;\ +\infty)\), нуль — число \(-5{,}2\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -5{,}2)\), \((-5{,}2;\ 1{,}4)\), \((1{,}4;\ +\infty)\).
\(f(2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((1{,}4;\ +\infty)\);
\(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-5{,}2;\ 1{,}4)\);
\(f(-6) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ -5{,}2)\).
\(f(x) < 0\) на \((-5{,}2;\ 1{,}4)\); добавляем нуль \(-5{,}2\).
4) \(f(x) = \frac{5 - x}{x - 6}\): \(D(f) = (-\infty;\ 6) \cup (6;\ +\infty)\), нуль — число \(5\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ 5)\), \((5;\ 6)\), \((6;\ +\infty)\).
\(f(7) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((6;\ +\infty)\);
\(f(5{,}5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((5;\ 6)\);
\(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-\infty;\ 5)\).
\(f(x) > 0\) на \((5;\ 6)\); добавляем нуль \(5\).
5) \(f(x) = \frac{(x + 15)(x - 2)}{x - 15}\): \(D(f) = (-\infty;\ 15) \cup (15;\ +\infty)\), нули — числа \(-15\) и \(2\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -15)\), \((-15;\ 2)\), \((2;\ 15)\), \((15;\ +\infty)\).
\(f(16) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((15;\ +\infty)\);
\(f(3) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((2;\ 15)\);
\(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-15;\ 2)\);
\(f(-16) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-\infty;\ -15)\).
\(f(x) > 0\) на \((-15;\ 2) \cup (15;\ +\infty)\); добавляем нули \(-15\) и \(2\).
6) \(f(x) = \frac{x - 3{,}8}{(x + 5)(x - 16)}\): \(D(f) = (-\infty;\ -5) \cup (-5;\ 16) \cup (16;\ +\infty)\), нуль — число \(3{,}8\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -5)\), \((-5;\ 3{,}8)\), \((3{,}8;\ 16)\), \((16;\ +\infty)\).
\(f(17) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((16;\ +\infty)\);
\(f(4) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((3{,}8;\ 16)\);
\(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-5;\ 3{,}8)\);
\(f(-6) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-\infty;\ -5)\).
\(f(x) < 0\) на \((-\infty;\ -5) \cup (3{,}8;\ 16)\); добавляем нуль \(3{,}8\).
Ответ: 1) \((-7;\ 8)\); 2) \((-\infty;\ -9) \cup (11;\ +\infty)\); 3) \([-5{,}2;\ 1{,}4)\); 4) \([5;\ 6)\); 5) \([-15;\ 2] \cup (15;\ +\infty)\); 6) \((-\infty;\ -5) \cup [3{,}8;\ 16)\).
Найдите множество решений неравенства: 1) \(\frac{x - 8}{x + 7} < 0\); 2) \(\frac{x + 9}{x - 11} > 0\); 3) \(\frac{x + 5{,}2}{x - 1{,}4} \leqslant 0\); 4) \(\frac{5 - x}{x - 6} \geqslant 0\); 5) \(\frac{(x + 15)(x - 2)}{x - 15} \geqslant 0\); 6) \(\frac{x - 3{,}8}{(x + 5)(x - 16)} \leqslant 0\).
1) Числитель и знаменатель дроби \(\frac{x - 8}{x + 7}\) — многочлены, поэтому функция \(f(x) = \frac{x - 8}{x + 7}\) непрерывна на своей области определения \(D(f) = (-\infty;\ -7) \cup (-7;\ +\infty)\). Нуль функции — число \(8\). Значит, промежутки знакопостоянства функции \(f\) — это \((-\infty;\ -7)\), \((-7;\ 8)\), \((8;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(9 \in (8;\ +\infty)\); \(f(9) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (8;\ +\infty)\);
\(0 \in (-7;\ 8)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-7;\ 8)\);
\(-8 \in (-\infty;\ -7)\); \(f(-8) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -7)\).
Неравенству \(f(x) < 0\) удовлетворяют числа из промежутка \((-7;\ 8)\).
2) Функция \(f(x) = \frac{x + 9}{x - 11}\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ 11) \cup (11;\ +\infty)\), её нуль — число \(-9\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -9)\), \((-9;\ 11)\), \((11;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(12 \in (11;\ +\infty)\); \(f(12) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (11;\ +\infty)\);
\(0 \in (-9;\ 11)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-9;\ 11)\);
\(-10 \in (-\infty;\ -9)\); \(f(-10) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -9)\).
Неравенству \(f(x) > 0\) удовлетворяют числа из промежутков \((-\infty;\ -9)\) и \((11;\ +\infty)\).
3) Функция \(f(x) = \frac{x + 5{,}2}{x - 1{,}4}\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ 1{,}4) \cup (1{,}4;\ +\infty)\), её нуль — число \(-5{,}2\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -5{,}2)\), \((-5{,}2;\ 1{,}4)\), \((1{,}4;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(2 \in (1{,}4;\ +\infty)\); \(f(2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (1{,}4;\ +\infty)\);
\(0 \in (-5{,}2;\ 1{,}4)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-5{,}2;\ 1{,}4)\);
\(-6 \in (-\infty;\ -5{,}2)\); \(f(-6) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -5{,}2)\).
Множество решений неравенства \(f(x) < 0\) — это \((-5{,}2;\ 1{,}4)\). Добавив к нему корень уравнения \(f(x) = 0\), то есть число \(-5{,}2\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \leqslant 0\).
4) Функция \(f(x) = \frac{5 - x}{x - 6}\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ 6) \cup (6;\ +\infty)\), её нуль — число \(5\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ 5)\), \((5;\ 6)\), \((6;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(7 \in (6;\ +\infty)\); \(f(7) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (6;\ +\infty)\);
\(5{,}5 \in (5;\ 6)\); \(f(5{,}5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (5;\ 6)\);
\(0 \in (-\infty;\ 5)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ 5)\).
Множество решений неравенства \(f(x) > 0\) — это \((5;\ 6)\). Добавив к нему корень уравнения \(f(x) = 0\), то есть число \(5\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \geqslant 0\).
5) Функция \(f(x) = \frac{(x + 15)(x - 2)}{x - 15}\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ 15) \cup (15;\ +\infty)\), её нули — числа \(-15\) и \(2\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -15)\), \((-15;\ 2)\), \((2;\ 15)\), \((15;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(16 \in (15;\ +\infty)\); \(f(16) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (15;\ +\infty)\);
\(3 \in (2;\ 15)\); \(f(3) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (2;\ 15)\);
\(0 \in (-15;\ 2)\); \(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-15;\ 2)\);
\(-16 \in (-\infty;\ -15)\); \(f(-16) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -15)\).
Множество решений неравенства \(f(x) > 0\) — это \((-15;\ 2) \cup (15;\ +\infty)\). Добавив к нему корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(-15\) и \(2\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \geqslant 0\).
6) Функция \(f(x) = \frac{x - 3{,}8}{(x + 5)(x - 16)}\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ -5) \cup (-5;\ 16) \cup (16;\ +\infty)\), её нуль — число \(3{,}8\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -5)\), \((-5;\ 3{,}8)\), \((3{,}8;\ 16)\), \((16;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(17 \in (16;\ +\infty)\); \(f(17) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (16;\ +\infty)\);
\(4 \in (3{,}8;\ 16)\); \(f(4) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (3{,}8;\ 16)\);
\(0 \in (-5;\ 3{,}8)\); \(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-5;\ 3{,}8)\);
\(-6 \in (-\infty;\ -5)\); \(f(-6) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -5)\).
Множество решений неравенства \(f(x) < 0\) — это \((-\infty;\ -5) \cup (3{,}8;\ 16)\). Добавив к нему корень уравнения \(f(x) = 0\), то есть число \(3{,}8\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \leqslant 0\).
Ответ: 1) \((-7;\ 8)\); 2) \((-\infty;\ -9) \cup (11;\ +\infty)\); 3) \([-5{,}2;\ 1{,}4)\); 4) \([5;\ 6)\); 5) \([-15;\ 2] \cup (15;\ +\infty)\); 6) \((-\infty;\ -5) \cup [3{,}8;\ 16)\).
