Страница 71 номер 8.2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \((x + 3)(x - 1)(x + 4) < 0\); 2) \((x - 7)(x + 8)(x - 12) \geqslant 0\); 3) \((1 - 3x)(x + 2)(3 - x) < 0\); 4) \(x(5 - x)(6 - x) \leqslant 0\).
1) Нули \(f(x) = (x + 3)(x - 1)(x + 4)\) — числа \(-4\), \(-3\) и \(1\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -4)\), \((-4;\ -3)\), \((-3;\ 1)\), \((1;\ +\infty)\).
\(f(2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((1;\ +\infty)\);
\(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-3;\ 1)\);
\(f(-3{,}5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-4;\ -3)\);
\(f(-5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-\infty;\ -4)\).
\(f(x) < 0\) на промежутках \((-\infty;\ -4)\) и \((-3;\ 1)\).
2) Нули \(f(x) = (x - 7)(x + 8)(x - 12)\) — числа \(-8\), \(7\) и \(12\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -8)\), \((-8;\ 7)\), \((7;\ 12)\), \((12;\ +\infty)\).
\(f(13) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((12;\ +\infty)\);
\(f(8) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((7;\ 12)\);
\(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-8;\ 7)\);
\(f(-9) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-\infty;\ -8)\).
\(f(x) > 0\) на \((-8;\ 7) \cup (12;\ +\infty)\); добавляем нули \(-8\), \(7\) и \(12\).
3) Нули \(f(x) = (1 - 3x)(x + 2)(3 - x)\) — числа \(-2\), \(\frac{1}{3}\) и \(3\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -2)\), \(\left(-2;\ \frac{1}{3}\right)\), \(\left(\frac{1}{3};\ 3\right)\), \((3;\ +\infty)\).
\(f(4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((3;\ +\infty)\);
\(f(1) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \(\left(\frac{1}{3};\ 3\right)\);
\(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \(\left(-2;\ \frac{1}{3}\right)\);
\(f(-3) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-\infty;\ -2)\).
\(f(x) < 0\) на промежутках \((-\infty;\ -2)\) и \(\left(\frac{1}{3};\ 3\right)\).
4) Нули \(f(x) = x(5 - x)(6 - x)\) — числа \(0\), \(5\) и \(6\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ 0)\), \((0;\ 5)\), \((5;\ 6)\), \((6;\ +\infty)\).
\(f(7) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((6;\ +\infty)\);
\(f(5{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((5;\ 6)\);
\(f(1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((0;\ 5)\);
\(f(-1) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-\infty;\ 0)\).
\(f(x) < 0\) на \((-\infty;\ 0) \cup (5;\ 6)\); добавляем нули \(0\), \(5\) и \(6\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ -4) \cup (-3;\ 1)\); 2) \([-8;\ 7] \cup [12;\ +\infty)\); 3) \((-\infty;\ -2) \cup \left(\frac{1}{3};\ 3\right)\); 4) \((-\infty;\ 0] \cup [5;\ 6]\).
Решите неравенство: 1) \((x + 3)(x - 1)(x + 4) < 0\); 2) \((x - 7)(x + 8)(x - 12) \geqslant 0\); 3) \((1 - 3x)(x + 2)(3 - x) < 0\); 4) \(x(5 - x)(6 - x) \leqslant 0\).
1) Нули функции \(f(x) = (x + 3)(x - 1)(x + 4)\), непрерывной на \(D(f) = \mathbf{R}\), — числа \(-4\), \(-3\) и \(1\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -4)\), \((-4;\ -3)\), \((-3;\ 1)\), \((1;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(2 \in (1;\ +\infty)\); \(f(2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (1;\ +\infty)\);
\(0 \in (-3;\ 1)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-3;\ 1)\);
\(-3{,}5 \in (-4;\ -3)\); \(f(-3{,}5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-4;\ -3)\);
\(-5 \in (-\infty;\ -4)\); \(f(-5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -4)\).
Неравенству \(f(x) < 0\) удовлетворяют числа из промежутков \((-\infty;\ -4)\) и \((-3;\ 1)\).
2) Нули функции \(f(x) = (x - 7)(x + 8)(x - 12)\), непрерывной на \(D(f) = \mathbf{R}\), — числа \(-8\), \(7\) и \(12\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -8)\), \((-8;\ 7)\), \((7;\ 12)\), \((12;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(13 \in (12;\ +\infty)\); \(f(13) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (12;\ +\infty)\);
\(8 \in (7;\ 12)\); \(f(8) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (7;\ 12)\);
\(0 \in (-8;\ 7)\); \(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-8;\ 7)\);
\(-9 \in (-\infty;\ -8)\); \(f(-9) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -8)\).
Множество решений неравенства \(f(x) > 0\) — это \((-8;\ 7) \cup (12;\ +\infty)\). Добавив к нему корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(-8\), \(7\) и \(12\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \geqslant 0\).
3) Нули функции \(f(x) = (1 - 3x)(x + 2)(3 - x)\), непрерывной на \(D(f) = \mathbf{R}\), — числа \(-2\), \(\frac{1}{3}\) и \(3\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -2)\), \(\left(-2;\ \frac{1}{3}\right)\), \(\left(\frac{1}{3};\ 3\right)\), \((3;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(4 \in (3;\ +\infty)\); \(f(4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (3;\ +\infty)\);
\(1 \in \left(\frac{1}{3};\ 3\right)\); \(f(1) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in \left(\frac{1}{3};\ 3\right)\);
\(0 \in \left(-2;\ \frac{1}{3}\right)\); \(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in \left(-2;\ \frac{1}{3}\right)\);
\(-3 \in (-\infty;\ -2)\); \(f(-3) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -2)\).
Неравенству \(f(x) < 0\) удовлетворяют числа из промежутков \((-\infty;\ -2)\) и \(\left(\frac{1}{3};\ 3\right)\).
4) Нули функции \(f(x) = x(5 - x)(6 - x)\), непрерывной на \(D(f) = \mathbf{R}\), — числа \(0\), \(5\) и \(6\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ 0)\), \((0;\ 5)\), \((5;\ 6)\), \((6;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(7 \in (6;\ +\infty)\); \(f(7) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (6;\ +\infty)\);
\(5{,}5 \in (5;\ 6)\); \(f(5{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (5;\ 6)\);
\(1 \in (0;\ 5)\); \(f(1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (0;\ 5)\);
\(-1 \in (-\infty;\ 0)\); \(f(-1) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ 0)\).
Множество решений неравенства \(f(x) < 0\) — это \((-\infty;\ 0) \cup (5;\ 6)\). Добавив к нему корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(0\), \(5\) и \(6\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \leqslant 0\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ -4) \cup (-3;\ 1)\); 2) \([-8;\ 7] \cup [12;\ +\infty)\); 3) \((-\infty;\ -2) \cup \left(\frac{1}{3};\ 3\right)\); 4) \((-\infty;\ 0] \cup [5;\ 6]\).
