Страница 73 номер 8.22, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Для каждого значения \(a\) решите неравенство: 1) \((x - 3)(x - a) < 0\); 2) \((x - 3)(x - a)^2 > 0\); 3) \((x - 3)(x - a)^2 \geqslant 0\); 4) \((x - a)(x + 5)^2 < 0\); 5) \((x - a)(x + 5)^2 \leqslant 0\); 6) \(\frac{(x + 1)(x - a)}{x - a} \leqslant 0\).
1) \(f(x) = (x - 3)(x - a)\) — квадратичная со старшим коэффициентом \(1 > 0\), нули — \(3\) и \(a\).
При \(a = 3\) имеем \(f(x) = (x - 3)^2 \geqslant 0\) — решений нет.
При \(a \ne 3\) нули различны, и \(f(x) < 0\) между ними: при \(a < 3\) это \((a;\ 3)\), при \(a > 3\) — \((3;\ a)\).
2) \(f(x) = (x - 3)(x - a)^2\).
При \(a = 3\): \(f(x) = (x - 3)^3\), и \(f(x) > 0\) равносильно \(x > 3\).
При \(a \ne 3\) и \(x \ne a\) имеем \((x - a)^2 > 0\), поэтому знак \(f\) — это знак \(x - 3\); при \(x = a\) значение равно нулю. Значит, неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x > 3, \\ x \ne a. \end{cases}\]
При \(a < 3\) решения — \((3;\ +\infty)\); при \(a > 3\) исключаем \(a\): \((3;\ a) \cup (a;\ +\infty)\).
3) К решениям неравенства \((x - 3)(x - a)^2 > 0\) добавляем нули \(3\) и \(a\).
При \(a < 3\): \((3;\ +\infty) \cup \{3\} \cup \{a\}\), то есть \(x \geqslant 3\) или \(x = a\).
При \(a = 3\): \((3;\ +\infty) \cup \{3\}\), то есть \(x \geqslant 3\).
При \(a > 3\): \((3;\ a) \cup (a;\ +\infty) \cup \{3,\ a\}\), то есть \(x \geqslant 3\).
4) \(f(x) = (x - a)(x + 5)^2\).
При \(a = -5\): \(f(x) = (x + 5)^3\), и \(f(x) < 0\) равносильно \(x < -5\).
При \(a \ne -5\) и \(x \ne -5\) имеем \((x + 5)^2 > 0\), поэтому знак \(f\) — это знак \(x - a\); при \(x = -5\) значение равно нулю. Значит, неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x < a, \\ x \ne -5. \end{cases}\]
При \(a < -5\) решения — \((-\infty;\ a)\); при \(a > -5\) исключаем \(-5\): \((-\infty;\ -5) \cup (-5;\ a)\).
5) К решениям неравенства \((x - a)(x + 5)^2 < 0\) добавляем нули \(a\) и \(-5\).
При \(a < -5\): \((-\infty;\ a) \cup \{a\} \cup \{-5\}\), то есть \(x \leqslant a\) или \(x = -5\).
При \(a = -5\): \((-\infty;\ -5) \cup \{-5\}\), то есть \(x \leqslant -5\), а так как \(a = -5\), это и означает \(x \leqslant a\).
При \(a > -5\): \((-\infty;\ -5) \cup (-5;\ a) \cup \{-5,\ a\}\), то есть \(x \leqslant a\).
6) Область определения функции \(f(x) = \frac{(x + 1)(x - a)}{x - a}\): \(x \ne a\); тогда дробь сокращается и \(f(x) = x + 1\), поэтому неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x + 1 \leqslant 0, \\ x \ne a. \end{cases}\]
Первое условие даёт \(x \leqslant -1\).
При \(a = -1\) исключаем правый конец: \((-\infty;\ -1)\).
При \(a < -1\) число \(a\) лежит в \((-\infty;\ -1]\) и исключается: \((-\infty;\ a) \cup (a;\ -1]\).
При \(a > -1\) число \(a\) промежутку \((-\infty;\ -1]\) не принадлежит: \((-\infty;\ -1]\).
Ответ: 1) если \(a = 3\), то решений нет; если \(a < 3\), то \(a < x < 3\); если \(a > 3\), то \(3 < x < a\); 2) если \(a \leqslant 3\), то \(x > 3\); если \(a > 3\), то \(3 < x < a\) или \(x > a\); 3) если \(a < 3\), то \(x \geqslant 3\) или \(x = a\); если \(a \geqslant 3\), то \(x \geqslant 3\); 4) если \(a \leqslant -5\), то \(x < a\); если \(a > -5\), то \(x < -5\) или \(-5 < x < a\); 5) если \(a < -5\), то \(x \leqslant a\) или \(x = -5\); если \(a \geqslant -5\), то \(x \leqslant a\); 6) если \(a = -1\), то \(x < -1\); если \(a < -1\), то \(x < a\) или \(a < x \leqslant -1\); если \(a > -1\), то \(x \leqslant -1\).
Для каждого значения \(a\) решите неравенство: 1) \((x - 3)(x - a) < 0\); 2) \((x - 3)(x - a)^2 > 0\); 3) \((x - 3)(x - a)^2 \geqslant 0\); 4) \((x - a)(x + 5)^2 < 0\); 5) \((x - a)(x + 5)^2 \leqslant 0\); 6) \(\frac{(x + 1)(x - a)}{x - a} \leqslant 0\).
1) Функция \(f(x) = (x - 3)(x - a)\) — квадратичная, старший коэффициент её равен \(1\), то есть положителен. Нули функции — числа \(3\) и \(a\).
Если \(a = 3\), то \(f(x) = (x - 3)^2 \geqslant 0\) при любом \(x\), и неравенство \(f(x) < 0\) решений не имеет.
Если \(a \ne 3\), то нули различны, и значения функции отрицательны между нулями и положительны вне промежутка между ними. Значит, при \(a < 3\) множество решений — промежуток \((a;\ 3)\), а при \(a > 3\) — промежуток \((3;\ a)\).
2) Пусть \(f(x) = (x - 3)(x - a)^2\).
Если \(a = 3\), то \(f(x) = (x - 3)^3\), и неравенство \(f(x) > 0\) равносильно неравенству \(x - 3 > 0\), то есть \(x > 3\).
Если \(a \ne 3\), то при \(x \ne a\) выполняется неравенство \((x - a)^2 > 0\), поэтому знак функции \(f\) совпадает со знаком двучлена \(x - 3\), а при \(x = a\) значение функции равно нулю. Значит, неравенство \(f(x) > 0\) равносильно системе \[\begin{cases} x > 3, \\ x \ne a. \end{cases}\]
При \(a < 3\) условие \(x \ne a\) выполняется для любого \(x > 3\), и множество решений — промежуток \((3;\ +\infty)\). При \(a > 3\) из промежутка \((3;\ +\infty)\) надо исключить число \(a\), и множество решений — \((3;\ a) \cup (a;\ +\infty)\).
3) К решениям неравенства \((x - 3)(x - a)^2 > 0\) добавим нули функции — числа \(3\) и \(a\).
При \(a < 3\) получаем \((3;\ +\infty) \cup \{3\} \cup \{a\}\), то есть \(x \geqslant 3\) или \(x = a\).
При \(a = 3\) получаем \((3;\ +\infty) \cup \{3\}\), то есть \(x \geqslant 3\).
При \(a > 3\) получаем \((3;\ a) \cup (a;\ +\infty) \cup \{3,\ a\}\), то есть \(x \geqslant 3\).
4) Пусть \(f(x) = (x - a)(x + 5)^2\).
Если \(a = -5\), то \(f(x) = (x + 5)^3\), и неравенство \(f(x) < 0\) равносильно неравенству \(x + 5 < 0\), то есть \(x < -5\).
Если \(a \ne -5\), то при \(x \ne -5\) выполняется неравенство \((x + 5)^2 > 0\), поэтому знак функции \(f\) совпадает со знаком двучлена \(x - a\), а при \(x = -5\) значение функции равно нулю. Значит, неравенство \(f(x) < 0\) равносильно системе \[\begin{cases} x < a, \\ x \ne -5. \end{cases}\]
При \(a < -5\) условие \(x \ne -5\) выполняется для любого \(x < a\), и множество решений — промежуток \((-\infty;\ a)\). При \(a > -5\) из промежутка \((-\infty;\ a)\) надо исключить число \(-5\), и множество решений — \((-\infty;\ -5) \cup (-5;\ a)\).
5) К решениям неравенства \((x - a)(x + 5)^2 < 0\) добавим нули функции — числа \(a\) и \(-5\).
При \(a < -5\) получаем \((-\infty;\ a) \cup \{a\} \cup \{-5\}\), то есть \(x \leqslant a\) или \(x = -5\).
При \(a = -5\) получаем \((-\infty;\ -5) \cup \{-5\}\), то есть \(x \leqslant -5\), а так как \(a = -5\), это и означает \(x \leqslant a\).
При \(a > -5\) получаем \((-\infty;\ -5) \cup (-5;\ a) \cup \{-5,\ a\}\), то есть \(x \leqslant a\).
6) Область определения функции \(f(x) = \frac{(x + 1)(x - a)}{x - a}\) задаётся условием \(x \ne a\). При \(x \ne a\) дробь можно сократить: \(f(x) = x + 1\). Значит, неравенство \(f(x) \leqslant 0\) равносильно системе \[\begin{cases} x + 1 \leqslant 0, \\ x \ne a. \end{cases}\]
Первое условие системы даёт \(x \leqslant -1\).
Если \(a = -1\), то из промежутка \((-\infty;\ -1]\) надо исключить его правый конец, и множество решений — промежуток \((-\infty;\ -1)\).
Если \(a < -1\), то число \(a\) принадлежит промежутку \((-\infty;\ -1]\) и его надо исключить: множество решений — \((-\infty;\ a) \cup (a;\ -1]\).
Если \(a > -1\), то число \(a\) промежутку \((-\infty;\ -1]\) не принадлежит, и множество решений — промежуток \((-\infty;\ -1]\).
Ответ: 1) если \(a = 3\), то решений нет; если \(a < 3\), то \(a < x < 3\); если \(a > 3\), то \(3 < x < a\); 2) если \(a \leqslant 3\), то \(x > 3\); если \(a > 3\), то \(3 < x < a\) или \(x > a\); 3) если \(a < 3\), то \(x \geqslant 3\) или \(x = a\); если \(a \geqslant 3\), то \(x \geqslant 3\); 4) если \(a \leqslant -5\), то \(x < a\); если \(a > -5\), то \(x < -5\) или \(-5 < x < a\); 5) если \(a < -5\), то \(x \leqslant a\) или \(x = -5\); если \(a \geqslant -5\), то \(x \leqslant a\); 6) если \(a = -1\), то \(x < -1\); если \(a < -1\), то \(x < a\) или \(a < x \leqslant -1\); если \(a > -1\), то \(x \leqslant -1\).
