Вопросы после параграфа §9 на странице 77, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начало математического анализа
1. Какую функцию называют степенной функцией с натуральным показателем? 2. Сформулируйте свойства функции \(y = x^n\), где \(n\) — чётное натуральное число. 3. Сформулируйте свойства функции \(y = x^n\), где \(n\) — нечётное натуральное число.
Степенная функция с натуральным показателем — функция, которую можно задать формулой \(y = x^n\), где \(n \in \mathbf{N}\).
Выражение \(x^n\) имеет смысл при любом \(x\), поэтому область определения — множество \(\mathbf{R}\); единственный нуль — \(x = 0\). Примеры: \(y = x\), \(y = x^2\), \(y = x^4\), \(y = x^5\).
Ответ: функцию, которую можно задать формулой \(y = x^n\), где \(n\) — натуральное число; её область определения — множество \(\mathbf{R}\).
Пусть \(n = 2k\), где \(k \in \mathbf{N}\).
Область определения — множество \(\mathbf{R}\).
Область значений — промежуток \([0;\ +\infty)\): \(x^{2k} \geqslant 0\) при любом \(x\), а каждое \(a \geqslant 0\) достигается.
Единственный нуль \(x = 0\); \(y > 0\) на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\).
Функция чётная, так как \((-x)^{2k} = x^{2k}\); ось ординат — ось симметрии графика.
Функция убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\) и возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\): если \(x_1 < x_2 \leqslant 0\), то \(-x_1 > -x_2 \geqslant 0\), откуда \(x_1^{2k} > x_2^{2k}\).
Наименьшее значение 0 при \(x = 0\); наибольшего значения нет.
Ответ: область определения — множество \(\mathbf{R}\); область значений — промежуток \([0;\ +\infty)\); единственный нуль \(x = 0\); \(y > 0\) на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\); функция чётная; убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\) и возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\).
Пусть \(n = 2k + 1\), где \(k \in \mathbf{N}\) или \(k = 0\).
Область определения — множество \(\mathbf{R}\).
Область значений — множество \(\mathbf{R}\): для каждого числа \(a\) найдётся такое \(x\), что \(x^{2k + 1} = a\).
Единственный нуль \(x = 0\); \(y < 0\) на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и \(y > 0\) на промежутке \((0;\ +\infty)\).
Функция нечётная, так как \((-x)^{2k + 1} = -x^{2k + 1}\); начало координат — центр симметрии графика.
Функция возрастающая: из \(x_1 < x_2\) следует \(x_1^{2k + 1} < x_2^{2k + 1}\).
Ни наибольшего, ни наименьшего значения нет.
Ответ: область определения — множество \(\mathbf{R}\); область значений — множество \(\mathbf{R}\); единственный нуль \(x = 0\); \(y < 0\) на промежутке \((-\infty;\ 0)\), \(y > 0\) на промежутке \((0;\ +\infty)\); функция нечётная; функция возрастающая.
1. Какую функцию называют степенной функцией с натуральным показателем? 2. Сформулируйте свойства функции \(y = x^n\), где \(n\) — чётное натуральное число. 3. Сформулируйте свойства функции \(y = x^n\), где \(n\) — нечётное натуральное число.
Степенной функцией с натуральным показателем называют функцию, которую можно задать формулой \(y = x^n\), где \(n \in \mathbf{N}\).
Выражение \(x^n\) при натуральном \(n\) имеет смысл при любом \(x\), поэтому областью определения такой функции является множество \(\mathbf{R}\). Единственный нуль этой функции — \(x = 0\).
Знакомые функции \(y = x\) (при \(n = 1\)) и \(y = x^2\) (при \(n = 2\)) — частные случаи степенной функции с натуральным показателем; другие примеры — \(y = x^4\), \(y = x^5\).
Ответ: функцию, которую можно задать формулой \(y = x^n\), где \(n\) — натуральное число; её область определения — множество \(\mathbf{R}\).
Пусть \(n = 2k\), где \(k \in \mathbf{N}\).
Область определения: множество \(\mathbf{R}\), так как выражение \(x^{2k}\) имеет смысл при любом \(x\).
Область значений: промежуток \([0;\ +\infty)\), так как \(x^{2k} \geqslant 0\) при любом \(x\), а для каждого \(a \geqslant 0\) найдётся такое значение аргумента \(x\), что \(x^{2k} = a\).
Нули функции: \(x = 0\) — единственный нуль.
Промежутки знакопостоянства: \(y > 0\) на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\), так как \(x^{2k} > 0\) при \(x \neq 0\).
Чётность: функция чётная, так как для любого \(x\) выполняется равенство \((-x)^{2k} = x^{2k}\); поэтому ось ординат — ось симметрии её графика.
Возрастание и убывание: функция убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\) и возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\). Действительно, если \(x_1 < x_2 \leqslant 0\), то \(-x_1 > -x_2 \geqslant 0\), откуда \((-x_1)^{2k} > (-x_2)^{2k}\), то есть \(x_1^{2k} > x_2^{2k}\).
Наименьшее значение функции равно 0 и достигается при \(x = 0\); наибольшего значения функция не имеет.
Ответ: область определения — множество \(\mathbf{R}\); область значений — промежуток \([0;\ +\infty)\); единственный нуль \(x = 0\); \(y > 0\) на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\); функция чётная; убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\) и возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\).
Пусть \(n = 2k + 1\), где \(k \in \mathbf{N}\) или \(k = 0\).
Область определения: множество \(\mathbf{R}\).
Область значений: множество \(\mathbf{R}\), так как для каждого числа \(a\) найдётся такое значение аргумента \(x\), что \(x^{2k + 1} = a\).
Нули функции: \(x = 0\) — единственный нуль.
Промежутки знакопостоянства: \(y < 0\) на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и \(y > 0\) на промежутке \((0;\ +\infty)\).
Чётность: функция нечётная, так как для любого \(x\) выполняется равенство \((-x)^{2k + 1} = -x^{2k + 1}\); поэтому начало координат — центр симметрии её графика.
Возрастание и убывание: функция возрастающая. Действительно, если \(x_1 < x_2\), то по свойству числовых неравенств \(x_1^{2k + 1} < x_2^{2k + 1}\).
Ни наибольшего, ни наименьшего значения такая функция не имеет.
Ответ: область определения — множество \(\mathbf{R}\); область значений — множество \(\mathbf{R}\); единственный нуль \(x = 0\); \(y < 0\) на промежутке \((-\infty;\ 0)\), \(y > 0\) на промежутке \((0;\ +\infty)\); функция нечётная; функция возрастающая.
