Страница 73 номер 8.21, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \((x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} > 0\); 2) \((x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} \leqslant 0\); 3) \((x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} > 0\); 4) \((x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} \geqslant 0\).
В пунктах 1) и 2) \(f(x) = (x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2}\). Область определения: \(14 + 5x - x^2 \geqslant 0\), то есть \(x^2 - 5x - 14 \leqslant 0\), откуда \((x + 2)(x - 7) \leqslant 0\) и \(D(f) = [-2;\ 7]\).
Корень равен нулю только при \(x = -2\) и \(x = 7\), поэтому \(f(-2) = f(7) = 0\); при \(x \in (-2;\ 7)\) он положителен, и знак \(f(x)\) — это знак двучлена \(x - 3\):
\(4 - 3 > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((3;\ 7)\);
\(0 - 3 < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-2;\ 3)\).
Кроме того, \(f(3) = 0\).
1) \(f(x) > 0\) на промежутке \((3;\ 7)\).
2) \(f(x) \leqslant 0\) на \((-2;\ 3)\) вместе с нулями \(-2\), \(3\) и \(7\): промежуток \([-2;\ 3]\) и число \(7\).
В пунктах 3) и 4) \(g(x) = (x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2}\). Область определения: \(16 - x^2 \geqslant 0\), то есть \((4 - x)(4 + x) \geqslant 0\), откуда \(D(g) = [-4;\ 4]\).
На \(D(g)\) имеем \(x^2 \leqslant 16\), значит, \(x^2 - 25 \leqslant -9\) — множитель \(x^2 - 25\) отрицателен; корень равен нулю только при \(x = -4\) и \(x = 4\), а при \(x \in (-4;\ 4)\) положителен.
Поэтому \(g(-4) = g(4) = 0\), а при любом \(x \in (-4;\ 4)\) значение \(g(x)\) — произведение отрицательного и положительного чисел, то есть \(g(x) < 0\).
3) \(g(x) > 0\) не выполняется ни при одном \(x\) — решений нет.
4) \(g(x) \geqslant 0\) только при \(x = -4\) и \(x = 4\).
Ответ: 1) \((3;\ 7)\); 2) \([-2;\ 3] \cup \{7\}\); 3) \(\varnothing\); 4) \(\{-4,\ 4\}\).
Решите неравенство: 1) \((x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} > 0\); 2) \((x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} \leqslant 0\); 3) \((x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} > 0\); 4) \((x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} \geqslant 0\).
В пунктах 1) и 2) рассматривается функция \(f(x) = (x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2}\). Её область определения задаётся условием \(14 + 5x - x^2 \geqslant 0\), то есть \(x^2 - 5x - 14 \leqslant 0\). По теореме Виета корни уравнения \(x^2 - 5x - 14 = 0\) — числа \(-2\) и \(7\), поэтому \((x + 2)(x - 7) \leqslant 0\), откуда \(D(f) = [-2;\ 7]\).
Корень \(\sqrt{14 + 5x - x^2}\) обращается в нуль только при \(x = -2\) и при \(x = 7\), поэтому \(f(-2) = 0\) и \(f(7) = 0\). При \(x \in (-2;\ 7)\) корень положителен, и знак \(f(x)\) совпадает со знаком двучлена \(x - 3\):
\(4 \in (3;\ 7)\); \(4 - 3 > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (3;\ 7)\);
\(0 \in (-2;\ 3)\); \(0 - 3 < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-2;\ 3)\).
Кроме того, \(f(3) = 0\).
1) Неравенству \(f(x) > 0\) удовлетворяют числа промежутка \((3;\ 7)\).
2) Неравенству \(f(x) \leqslant 0\) удовлетворяют числа промежутка \((-2;\ 3)\), а также нули функции \(-2\), \(3\) и \(7\), то есть промежуток \([-2;\ 3]\) и число \(7\).
В пунктах 3) и 4) рассматривается функция \(g(x) = (x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2}\). Её область определения задаётся условием \(16 - x^2 \geqslant 0\), то есть \((4 - x)(4 + x) \geqslant 0\), откуда \(D(g) = [-4;\ 4]\).
При любом \(x \in D(g)\) выполняется неравенство \(x^2 \leqslant 16\), а значит, \(x^2 - 25 \leqslant -9\), то есть множитель \(x^2 - 25\) отрицателен. Корень \(\sqrt{16 - x^2}\) обращается в нуль только при \(x = -4\) и при \(x = 4\), а при \(x \in (-4;\ 4)\) он положителен.
Следовательно, \(g(-4) = 0\), \(g(4) = 0\), а при любом \(x \in (-4;\ 4)\) значение \(g(x)\) — произведение отрицательного и положительного чисел, то есть \(g(x) < 0\).
3) Ни при одном \(x\) неравенство \(g(x) > 0\) не выполняется, поэтому оно решений не имеет.
4) Неравенству \(g(x) \geqslant 0\) удовлетворяют только числа \(-4\) и \(4\).
Ответ: 1) \((3;\ 7)\); 2) \([-2;\ 3] \cup \{7\}\); 3) \(\varnothing\); 4) \(\{-4,\ 4\}\).
