Страница 73 номер 8.20, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \((x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} \leqslant 0\); 2) \((x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} \geqslant 0\); 3) \((x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \leqslant 0\); 4) \((x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \geqslant 0\).
В пунктах 1) и 2) \(f(x) = (x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4}\). Область определения: \(x^2 - 4 \geqslant 0\), то есть \((x - 2)(x + 2) \geqslant 0\), откуда \(D(f) = (-\infty;\ -2] \cup [2;\ +\infty)\).
\(\sqrt{x^2 - 4} = 0\) только при \(x = -2\) и \(x = 2\); на \(D(f)\) имеем \(x^2 \geqslant 4\), значит, \(x^2 - 1 \geqslant 3\) — множитель \(x^2 - 1\) положителен.
Поэтому \(f(-2) = f(2) = 0\), а при остальных \(x \in D(f)\) значение \(f(x)\) — произведение положительных чисел, то есть \(f(x) > 0\).
1) \(f(x) \leqslant 0\) только при \(x = -2\) и \(x = 2\).
2) \(f(x) \geqslant 0\) на всей области определения: \((-\infty;\ -2] \cup [2;\ +\infty)\).
В пунктах 3) и 4) \(g(x) = (x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} = (x - 1)(x - 4)\sqrt{(x - 2)(x - 5)}\). Область определения: \((x - 2)(x - 5) \geqslant 0\), откуда \(D(g) = (-\infty;\ 2] \cup [5;\ +\infty)\).
Корень равен нулю только при \(x = 2\) и \(x = 5\), поэтому \(g(2) = g(5) = 0\); при остальных \(x \in D(g)\) он положителен, и знак \(g(x)\) — это знак произведения \((x - 1)(x - 4)\):
\((6 - 1)(6 - 4) > 0\), поэтому \(g(x) > 0\) на \((5;\ +\infty)\);
\((1{,}5 - 1)(1{,}5 - 4) < 0\), поэтому \(g(x) < 0\) на \((1;\ 2)\);
\((0 - 1)(0 - 4) > 0\), поэтому \(g(x) > 0\) на \((-\infty;\ 1)\).
Кроме того, \(g(1) = 0\).
3) \(g(x) \leqslant 0\) на \((1;\ 2)\) вместе с нулями \(1\), \(2\) и \(5\): промежуток \([1;\ 2]\) и число \(5\).
4) \(g(x) \geqslant 0\) на \((-\infty;\ 1)\) и \((5;\ +\infty)\) вместе с нулями \(1\), \(2\) и \(5\); число \(2\) этим промежуткам не принадлежит и входит в ответ отдельной точкой.
Ответ: 1) \(\{-2,\ 2\}\); 2) \((-\infty;\ -2] \cup [2;\ +\infty)\); 3) \([1;\ 2] \cup \{5\}\); 4) \((-\infty;\ 1] \cup \{2\} \cup [5;\ +\infty)\).
Решите неравенство: 1) \((x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} \leqslant 0\); 2) \((x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} \geqslant 0\); 3) \((x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \leqslant 0\); 4) \((x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \geqslant 0\).
В пунктах 1) и 2) рассматривается функция \(f(x) = (x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4}\). Её область определения задаётся условием \(x^2 - 4 \geqslant 0\), то есть \((x - 2)(x + 2) \geqslant 0\), откуда \(D(f) = (-\infty;\ -2] \cup [2;\ +\infty)\).
При любом \(x \in D(f)\) выполняется неравенство \(\sqrt{x^2 - 4} \geqslant 0\), причём \(\sqrt{x^2 - 4} = 0\) только при \(x = -2\) и при \(x = 2\).
Кроме того, при любом \(x \in D(f)\) выполняется неравенство \(x^2 \geqslant 4\), а значит, \(x^2 - 1 \geqslant 3\), то есть множитель \(x^2 - 1\) положителен.
Следовательно, \(f(-2) = 0\), \(f(2) = 0\), а при всех остальных \(x \in D(f)\) значение \(f(x)\) — произведение двух положительных чисел, то есть \(f(x) > 0\).
1) Неравенству \(f(x) \leqslant 0\) удовлетворяют только числа \(-2\) и \(2\).
2) Неравенству \(f(x) \geqslant 0\) удовлетворяет каждое число области определения: \((-\infty;\ -2] \cup [2;\ +\infty)\).
В пунктах 3) и 4) рассматривается функция \(g(x) = (x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10}\). По теореме Виета \(x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)\) и \(x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)\), поэтому \(g(x) = (x - 1)(x - 4)\sqrt{(x - 2)(x - 5)}\).
Область определения задаётся условием \((x - 2)(x - 5) \geqslant 0\), откуда \(D(g) = (-\infty;\ 2] \cup [5;\ +\infty)\).
Корень \(\sqrt{(x - 2)(x - 5)}\) обращается в нуль только при \(x = 2\) и при \(x = 5\), поэтому \(g(2) = 0\) и \(g(5) = 0\). При остальных \(x \in D(g)\), то есть при \(x < 2\) и при \(x > 5\), корень положителен, и знак \(g(x)\) совпадает со знаком произведения \((x - 1)(x - 4)\):
\(6 \in (5;\ +\infty)\); \((6 - 1)(6 - 4) > 0\), поэтому \(g(x) > 0\) при любом \(x \in (5;\ +\infty)\);
\(1{,}5 \in (1;\ 2)\); \((1{,}5 - 1)(1{,}5 - 4) < 0\), поэтому \(g(x) < 0\) при любом \(x \in (1;\ 2)\);
\(0 \in (-\infty;\ 1)\); \((0 - 1)(0 - 4) > 0\), поэтому \(g(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ 1)\).
Кроме того, \(g(1) = 0\).
3) Неравенству \(g(x) \leqslant 0\) удовлетворяют числа промежутка \((1;\ 2)\), а также нули функции \(1\), \(2\) и \(5\), то есть промежуток \([1;\ 2]\) и число \(5\).
4) Неравенству \(g(x) \geqslant 0\) удовлетворяют числа промежутков \((-\infty;\ 1)\) и \((5;\ +\infty)\), а также нули функции \(1\), \(2\) и \(5\). Число \(2\) не принадлежит ни одному из этих промежутков, поэтому оно входит в ответ отдельной точкой.
Ответ: 1) \(\{-2,\ 2\}\); 2) \((-\infty;\ -2] \cup [2;\ +\infty)\); 3) \([1;\ 2] \cup \{5\}\); 4) \((-\infty;\ 1] \cup \{2\} \cup [5;\ +\infty)\).
