Страница 73 номер 8.19, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\frac{2(x - 3)}{x(x - 6)} < \frac{1}{x - 1}\); 2) \(\frac{2x + 3}{x^2 + x - 12} < \frac{1}{2}\).
1) Общий знаменатель \(x(x - 6)(x - 1)\), числитель: \[2(x - 3)(x - 1) - x(x - 6) = 2x^2 - 8x + 6 - x^2 + 6x = x^2 - 2x + 6.\]
\(x^2 - 2x + 6 = (x - 1)^2 + 5 > 0\) при любом \(x\), поэтому дробь отрицательна только при отрицательном знаменателе: неравенство равносильно неравенству \(x(x - 6)(x - 1) < 0\).
Нули \(f(x) = x(x - 6)(x - 1)\) — числа \(0\), \(1\) и \(6\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ 0)\), \((0;\ 1)\), \((1;\ 6)\), \((6;\ +\infty)\).
\(f(7) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((6;\ +\infty)\);
\(f(2) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((1;\ 6)\);
\(f(0{,}5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((0;\ 1)\);
\(f(-1) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-\infty;\ 0)\).
\(f(x) < 0\) на промежутках \((-\infty;\ 0)\) и \((1;\ 6)\). Числа \(0\), \(1\) и \(6\) не входят в область определения исходного неравенства, но не входят и в найденные промежутки.
2) \(x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3)\). Общий знаменатель \(2(x + 4)(x - 3)\), числитель: \[2(2x + 3) - (x + 4)(x - 3) = 4x + 6 - x^2 - x + 12 = -x^2 + 3x + 18.\]
Умножаем неравенство \(\frac{-x^2 + 3x + 18}{2(x + 4)(x - 3)} < 0\) на \(-2\) и меняем знак: \(\frac{x^2 - 3x - 18}{(x + 4)(x - 3)} > 0\), где \(x^2 - 3x - 18 = (x + 3)(x - 6)\).
\(f(x) = \frac{(x + 3)(x - 6)}{(x + 4)(x - 3)}\): \(D(f) = (-\infty;\ -4) \cup (-4;\ 3) \cup (3;\ +\infty)\), нули — числа \(-3\) и \(6\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -4)\), \((-4;\ -3)\), \((-3;\ 3)\), \((3;\ 6)\), \((6;\ +\infty)\).
\(f(7) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((6;\ +\infty)\);
\(f(4) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((3;\ 6)\);
\(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-3;\ 3)\);
\(f(-3{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-4;\ -3)\);
\(f(-5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ -4)\).
\(f(x) > 0\) на промежутках \((-\infty;\ -4)\), \((-3;\ 3)\) и \((6;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 0) \cup (1;\ 6)\); 2) \((-\infty;\ -4) \cup (-3;\ 3) \cup (6;\ +\infty)\).
Решите неравенство: 1) \(\frac{2(x - 3)}{x(x - 6)} < \frac{1}{x - 1}\); 2) \(\frac{2x + 3}{x^2 + x - 12} < \frac{1}{2}\).
1) Перенесём все члены в левую часть и приведём её к общему знаменателю \(x(x - 6)(x - 1)\). Числитель получившейся дроби: \[2(x - 3)(x - 1) - x(x - 6) = 2x^2 - 8x + 6 - x^2 + 6x = x^2 - 2x + 6.\]
Выделим квадрат двучлена: \(x^2 - 2x + 6 = (x - 1)^2 + 5\). Значит, при любом \(x\) числитель положителен, и дробь отрицательна тогда и только тогда, когда отрицателен знаменатель. Неравенство равносильно неравенству \(x(x - 6)(x - 1) < 0\).
Нули функции \(f(x) = x(x - 6)(x - 1)\), непрерывной на \(D(f) = \mathbf{R}\), — числа \(0\), \(1\) и \(6\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ 0)\), \((0;\ 1)\), \((1;\ 6)\), \((6;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(7 \in (6;\ +\infty)\); \(f(7) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (6;\ +\infty)\);
\(2 \in (1;\ 6)\); \(f(2) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (1;\ 6)\);
\(0{,}5 \in (0;\ 1)\); \(f(0{,}5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (0;\ 1)\);
\(-1 \in (-\infty;\ 0)\); \(f(-1) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ 0)\).
Неравенству \(f(x) < 0\) удовлетворяют числа из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((1;\ 6)\). Числа \(0\), \(1\) и \(6\) не принадлежат области определения исходного неравенства, но они не входят и в найденные промежутки.
2) По теореме Виета корни уравнения \(x^2 + x - 12 = 0\) — числа \(-4\) и \(3\), поэтому \(x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3)\). Перенесём все члены в левую часть и приведём её к общему знаменателю \(2(x + 4)(x - 3)\). Числитель получившейся дроби: \[2(2x + 3) - (x + 4)(x - 3) = 4x + 6 - x^2 - x + 12 = -x^2 + 3x + 18.\]
Умножив обе части неравенства \(\frac{-x^2 + 3x + 18}{2(x + 4)(x - 3)} < 0\) на \(-2\) и изменив знак неравенства на противоположный, получим \(\frac{x^2 - 3x - 18}{(x + 4)(x - 3)} > 0\). По теореме Виета корни уравнения \(x^2 - 3x - 18 = 0\) — числа \(-3\) и \(6\), поэтому неравенство принимает вид \(\frac{(x + 3)(x - 6)}{(x + 4)(x - 3)} > 0\).
Функция \(f(x) = \frac{(x + 3)(x - 6)}{(x + 4)(x - 3)}\) непрерывна на своей области определения \(D(f) = (-\infty;\ -4) \cup (-4;\ 3) \cup (3;\ +\infty)\), её нули — числа \(-3\) и \(6\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -4)\), \((-4;\ -3)\), \((-3;\ 3)\), \((3;\ 6)\), \((6;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(7 \in (6;\ +\infty)\); \(f(7) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (6;\ +\infty)\);
\(4 \in (3;\ 6)\); \(f(4) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (3;\ 6)\);
\(0 \in (-3;\ 3)\); \(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-3;\ 3)\);
\(-3{,}5 \in (-4;\ -3)\); \(f(-3{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-4;\ -3)\);
\(-5 \in (-\infty;\ -4)\); \(f(-5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -4)\).
Неравенству \(f(x) > 0\) удовлетворяют числа из промежутков \((-\infty;\ -4)\), \((-3;\ 3)\) и \((6;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 0) \cup (1;\ 6)\); 2) \((-\infty;\ -4) \cup (-3;\ 3) \cup (6;\ +\infty)\).
