Страница 71 номер 8.1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \(x(x - 3)(x + 2) < 0\); 2) \((x + 7)(x + 5)(x - 9) \leqslant 0\); 3) \((2x - 1)(3 - x)(x + 1) < 0\); 4) \((x - 6)(7x + 1)(2 - 9x) \geqslant 0\).
1) Нули \(f(x) = x(x - 3)(x + 2)\) — числа \(-2\), \(0\) и \(3\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -2)\), \((-2;\ 0)\), \((0;\ 3)\), \((3;\ +\infty)\).
\(f(4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((3;\ +\infty)\);
\(f(1) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((0;\ 3)\);
\(f(-1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-2;\ 0)\);
\(f(-3) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-\infty;\ -2)\).
\(f(x) < 0\) на промежутках \((-\infty;\ -2)\) и \((0;\ 3)\).
2) Нули \(f(x) = (x + 7)(x + 5)(x - 9)\) — числа \(-7\), \(-5\) и \(9\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -7)\), \((-7;\ -5)\), \((-5;\ 9)\), \((9;\ +\infty)\).
\(f(10) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((9;\ +\infty)\);
\(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-5;\ 9)\);
\(f(-6) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-7;\ -5)\);
\(f(-8) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-\infty;\ -7)\).
\(f(x) < 0\) на \((-\infty;\ -7) \cup (-5;\ 9)\); добавляем нули \(-7\), \(-5\) и \(9\).
3) Нули \(f(x) = (2x - 1)(3 - x)(x + 1)\) — числа \(-1\), \(\frac{1}{2}\) и \(3\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -1)\), \(\left(-1;\ \frac{1}{2}\right)\), \(\left(\frac{1}{2};\ 3\right)\), \((3;\ +\infty)\).
\(f(4) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((3;\ +\infty)\);
\(f(1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \(\left(\frac{1}{2};\ 3\right)\);
\(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \(\left(-1;\ \frac{1}{2}\right)\);
\(f(-2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ -1)\).
\(f(x) < 0\) на промежутках \(\left(-1;\ \frac{1}{2}\right)\) и \((3;\ +\infty)\).
4) Нули \(f(x) = (x - 6)(7x + 1)(2 - 9x)\) — числа \(-\frac{1}{7}\), \(\frac{2}{9}\) и \(6\); промежутки знакопостоянства \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{7}\right)\), \(\left(-\frac{1}{7};\ \frac{2}{9}\right)\), \(\left(\frac{2}{9};\ 6\right)\), \((6;\ +\infty)\).
\(f(7) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((6;\ +\infty)\);
\(f(1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \(\left(\frac{2}{9};\ 6\right)\);
\(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \(\left(-\frac{1}{7};\ \frac{2}{9}\right)\);
\(f(-1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{7}\right)\).
\(f(x) > 0\) на \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{7}\right) \cup \left(\frac{2}{9};\ 6\right)\); добавляем нули \(-\frac{1}{7}\), \(\frac{2}{9}\) и \(6\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ -2) \cup (0;\ 3)\); 2) \((-\infty;\ -7] \cup [-5;\ 9]\); 3) \(\left(-1;\ \frac{1}{2}\right) \cup (3;\ +\infty)\); 4) \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{7}\right] \cup \left[\frac{2}{9};\ 6\right]\).
Решите неравенство: 1) \(x(x - 3)(x + 2) < 0\); 2) \((x + 7)(x + 5)(x - 9) \leqslant 0\); 3) \((2x - 1)(3 - x)(x + 1) < 0\); 4) \((x - 6)(7x + 1)(2 - 9x) \geqslant 0\).
1) Числа \(-2\), \(0\) и \(3\) являются нулями функции \(f(x) = x(x - 3)(x + 2)\), непрерывной на \(D(f) = \mathbf{R}\). Поэтому эти числа разбивают множество \(\mathbf{R}\) на промежутки знакопостоянства функции \(f\): \((-\infty;\ -2)\), \((-2;\ 0)\), \((0;\ 3)\), \((3;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(4 \in (3;\ +\infty)\); \(f(4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (3;\ +\infty)\);
\(1 \in (0;\ 3)\); \(f(1) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (0;\ 3)\);
\(-1 \in (-2;\ 0)\); \(f(-1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-2;\ 0)\);
\(-3 \in (-\infty;\ -2)\); \(f(-3) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -2)\).
Неравенству \(f(x) < 0\) удовлетворяют числа из промежутков \((-\infty;\ -2)\) и \((0;\ 3)\).
2) Нули функции \(f(x) = (x + 7)(x + 5)(x - 9)\), непрерывной на \(D(f) = \mathbf{R}\), — числа \(-7\), \(-5\) и \(9\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -7)\), \((-7;\ -5)\), \((-5;\ 9)\), \((9;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(10 \in (9;\ +\infty)\); \(f(10) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (9;\ +\infty)\);
\(0 \in (-5;\ 9)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-5;\ 9)\);
\(-6 \in (-7;\ -5)\); \(f(-6) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-7;\ -5)\);
\(-8 \in (-\infty;\ -7)\); \(f(-8) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -7)\).
Множество решений неравенства \(f(x) < 0\) — это \((-\infty;\ -7) \cup (-5;\ 9)\). Добавив к нему корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(-7\), \(-5\) и \(9\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \leqslant 0\).
3) Нули функции \(f(x) = (2x - 1)(3 - x)(x + 1)\), непрерывной на \(D(f) = \mathbf{R}\), — числа \(-1\), \(\frac{1}{2}\) и \(3\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -1)\), \(\left(-1;\ \frac{1}{2}\right)\), \(\left(\frac{1}{2};\ 3\right)\), \((3;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(4 \in (3;\ +\infty)\); \(f(4) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (3;\ +\infty)\);
\(1 \in \left(\frac{1}{2};\ 3\right)\); \(f(1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in \left(\frac{1}{2};\ 3\right)\);
\(0 \in \left(-1;\ \frac{1}{2}\right)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in \left(-1;\ \frac{1}{2}\right)\);
\(-2 \in (-\infty;\ -1)\); \(f(-2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -1)\).
Неравенству \(f(x) < 0\) удовлетворяют числа из промежутков \(\left(-1;\ \frac{1}{2}\right)\) и \((3;\ +\infty)\).
4) Нули функции \(f(x) = (x - 6)(7x + 1)(2 - 9x)\), непрерывной на \(D(f) = \mathbf{R}\), — числа \(-\frac{1}{7}\), \(\frac{2}{9}\) и \(6\). Промежутки знакопостоянства: \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{7}\right)\), \(\left(-\frac{1}{7};\ \frac{2}{9}\right)\), \(\left(\frac{2}{9};\ 6\right)\), \((6;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(7 \in (6;\ +\infty)\); \(f(7) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (6;\ +\infty)\);
\(1 \in \left(\frac{2}{9};\ 6\right)\); \(f(1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in \left(\frac{2}{9};\ 6\right)\);
\(0 \in \left(-\frac{1}{7};\ \frac{2}{9}\right)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in \left(-\frac{1}{7};\ \frac{2}{9}\right)\);
\(-1 \in \left(-\infty;\ -\frac{1}{7}\right)\); \(f(-1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in \left(-\infty;\ -\frac{1}{7}\right)\).
Множество решений неравенства \(f(x) > 0\) — это \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{7}\right) \cup \left(\frac{2}{9};\ 6\right)\). Добавив к нему корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(-\frac{1}{7}\), \(\frac{2}{9}\) и \(6\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \geqslant 0\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ -2) \cup (0;\ 3)\); 2) \((-\infty;\ -7] \cup [-5;\ 9]\); 3) \(\left(-1;\ \frac{1}{2}\right) \cup (3;\ +\infty)\); 4) \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{7}\right] \cup \left[\frac{2}{9};\ 6\right]\).
