Страница 73 номер 8.18, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

1) Перенесём все члены в левую часть и приведём её к общему знаменателю \(x(x - 1)(x + 1)\). Числитель получившейся дроби: \[x(x + 1) + x(x - 1) - 3(x - 1)(x + 1) = 2x^2 - 3(x^2 - 1) = 3 - x^2.\]

Значит, неравенство принимает вид \(\frac{3 - x^2}{x(x - 1)(x + 1)} \geqslant 0\), где \(3 - x^2 = \left(\sqrt{3} - x\right)\left(\sqrt{3} + x\right)\).

Функция \(f(x) = \frac{3 - x^2}{x(x - 1)(x + 1)}\) непрерывна на своей области определения, её нули — числа \(-\sqrt{3}\) и \(\sqrt{3}\), а числа \(-1\), \(0\) и \(1\) области определения не принадлежат. Так как \(1 < 3 < 4\), то \(1 < \sqrt{3} < 2\). Промежутки знакопостоянства: \(\left(-\infty;\ -\sqrt{3}\right)\), \(\left(-\sqrt{3};\ -1\right)\), \((-1;\ 0)\), \((0;\ 1)\), \(\left(1;\ \sqrt{3}\right)\), \(\left(\sqrt{3};\ +\infty\right)\).

Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:

\(2 \in \left(\sqrt{3};\ +\infty\right)\); \(f(2) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in \left(\sqrt{3};\ +\infty\right)\);
\(1{,}5 \in \left(1;\ \sqrt{3}\right)\); \(f(1{,}5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in \left(1;\ \sqrt{3}\right)\);
\(0{,}5 \in (0;\ 1)\); \(f(0{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (0;\ 1)\);
\(-0{,}5 \in (-1;\ 0)\); \(f(-0{,}5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-1;\ 0)\);
\(-1{,}5 \in \left(-\sqrt{3};\ -1\right)\); \(f(-1{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in \left(-\sqrt{3};\ -1\right)\);
\(-2 \in \left(-\infty;\ -\sqrt{3}\right)\); \(f(-2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in \left(-\infty;\ -\sqrt{3}\right)\).

Множество решений неравенства \(f(x) > 0\) — это \(\left(-\infty;\ -\sqrt{3}\right) \cup (-1;\ 0) \cup \left(1;\ \sqrt{3}\right)\). Добавив к нему корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(-\sqrt{3}\) и \(\sqrt{3}\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \geqslant 0\).

2) Перенесём все члены в левую часть и приведём её к общему знаменателю \((x^2 - 4)(x^2 - 9)\). Числитель получившейся дроби: \[12(x^2 - 9) - 7(x^2 - 4) = 12x^2 - 108 - 7x^2 + 28 = 5x^2 - 80.\]

Так как \(5x^2 - 80 = 5(x - 4)(x + 4)\), а \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\) и \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\), неравенство принимает вид \(\frac{5(x - 4)(x + 4)}{(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)} \leqslant 0\). Множитель \(5\) положителен и знака дроби не меняет.

Функция \(f(x) = \frac{(x - 4)(x + 4)}{(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)}\) непрерывна на своей области определения, её нули — числа \(-4\) и \(4\), а числа \(-3\), \(-2\), \(2\) и \(3\) области определения не принадлежат. Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -4)\), \((-4;\ -3)\), \((-3;\ -2)\), \((-2;\ 2)\), \((2;\ 3)\), \((3;\ 4)\), \((4;\ +\infty)\).

Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:

\(5 \in (4;\ +\infty)\); \(f(5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (4;\ +\infty)\);
\(3{,}5 \in (3;\ 4)\); \(f(3{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (3;\ 4)\);
\(2{,}5 \in (2;\ 3)\); \(f(2{,}5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (2;\ 3)\);
\(0 \in (-2;\ 2)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-2;\ 2)\);
\(-2{,}5 \in (-3;\ -2)\); \(f(-2{,}5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-3;\ -2)\);
\(-3{,}5 \in (-4;\ -3)\); \(f(-3{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-4;\ -3)\);
\(-5 \in (-\infty;\ -4)\); \(f(-5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -4)\).

Множество решений неравенства \(f(x) < 0\) — это \((-4;\ -3) \cup (-2;\ 2) \cup (3;\ 4)\). Добавив к нему корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(-4\) и \(4\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \leqslant 0\).

Ответ: 1) \(\left(-\infty;\ -\sqrt{3}\right] \cup (-1;\ 0) \cup \left(1;\ \sqrt{3}\right]\); 2) \([-4;\ -3) \cup (-2;\ 2) \cup (3;\ 4]\).