Страница 73 номер 8.17, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\frac{(x - 1)(x - 2)^2}{(x - 3)^3} \leqslant 0\); 2) \(\frac{(x - 1)^2(x + 2)^3}{x - 5} \geqslant 0\); 3) \(\frac{x^2(x^2 - 1)}{x - 4} > 0\).
1) \(f(x) = \frac{(x - 1)(x - 2)^2}{(x - 3)^3}\): \(D(f) = (-\infty;\ 3) \cup (3;\ +\infty)\), нули — числа \(1\) и \(2\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ 1)\), \((1;\ 2)\), \((2;\ 3)\), \((3;\ +\infty)\).
\(f(4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((3;\ +\infty)\);
\(f(2{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((2;\ 3)\);
\(f(1{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((1;\ 2)\);
\(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ 1)\).
\(f(x) < 0\) на \((1;\ 2) \cup (2;\ 3)\); с нулями \(1\) и \(2\) получаем промежуток \([1;\ 3)\).
2) \(f(x) = \frac{(x - 1)^2(x + 2)^3}{x - 5}\): \(D(f) = (-\infty;\ 5) \cup (5;\ +\infty)\), нули — числа \(-2\) и \(1\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -2)\), \((-2;\ 1)\), \((1;\ 5)\), \((5;\ +\infty)\).
\(f(6) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((5;\ +\infty)\);
\(f(2) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((1;\ 5)\);
\(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-2;\ 1)\);
\(f(-3) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ -2)\).
\(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ -2) \cup (5;\ +\infty)\); добавляем нули \(-2\) и \(1\), причём число \(1\) не принадлежит этим промежуткам и входит в ответ отдельной точкой.
3) \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\), поэтому неравенство принимает вид \(\frac{x^2(x - 1)(x + 1)}{x - 4} > 0\).
\(D(f) = (-\infty;\ 4) \cup (4;\ +\infty)\), нули — числа \(-1\), \(0\) и \(1\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -1)\), \((-1;\ 0)\), \((0;\ 1)\), \((1;\ 4)\), \((4;\ +\infty)\).
\(f(5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((4;\ +\infty)\);
\(f(2) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((1;\ 4)\);
\(f(0{,}5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((0;\ 1)\);
\(f(-0{,}5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-1;\ 0)\);
\(f(-2) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-\infty;\ -1)\).
\(f(x) > 0\) на промежутках \((-1;\ 0)\), \((0;\ 1)\) и \((4;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \([1;\ 3)\); 2) \((-\infty;\ -2] \cup \{1\} \cup (5;\ +\infty)\); 3) \((-1;\ 0) \cup (0;\ 1) \cup (4;\ +\infty)\).
Решите неравенство: 1) \(\frac{(x - 1)(x - 2)^2}{(x - 3)^3} \leqslant 0\); 2) \(\frac{(x - 1)^2(x + 2)^3}{x - 5} \geqslant 0\); 3) \(\frac{x^2(x^2 - 1)}{x - 4} > 0\).
1) Функция \(f(x) = \frac{(x - 1)(x - 2)^2}{(x - 3)^3}\) непрерывна на своей области определения \(D(f) = (-\infty;\ 3) \cup (3;\ +\infty)\), её нули — числа \(1\) и \(2\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ 1)\), \((1;\ 2)\), \((2;\ 3)\), \((3;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(4 \in (3;\ +\infty)\); \(f(4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (3;\ +\infty)\);
\(2{,}5 \in (2;\ 3)\); \(f(2{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (2;\ 3)\);
\(1{,}5 \in (1;\ 2)\); \(f(1{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (1;\ 2)\);
\(0 \in (-\infty;\ 1)\); \(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ 1)\).
Множество решений неравенства \(f(x) < 0\) — это \((1;\ 2) \cup (2;\ 3)\). Добавив к нему корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(1\) и \(2\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \leqslant 0\): \(\{1\} \cup (1;\ 2) \cup \{2\} \cup (2;\ 3)\), то есть промежуток \([1;\ 3)\).
2) Функция \(f(x) = \frac{(x - 1)^2(x + 2)^3}{x - 5}\) непрерывна на своей области определения \(D(f) = (-\infty;\ 5) \cup (5;\ +\infty)\), её нули — числа \(-2\) и \(1\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -2)\), \((-2;\ 1)\), \((1;\ 5)\), \((5;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(6 \in (5;\ +\infty)\); \(f(6) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (5;\ +\infty)\);
\(2 \in (1;\ 5)\); \(f(2) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (1;\ 5)\);
\(0 \in (-2;\ 1)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-2;\ 1)\);
\(-3 \in (-\infty;\ -2)\); \(f(-3) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -2)\).
Множество решений неравенства \(f(x) > 0\) — это \((-\infty;\ -2) \cup (5;\ +\infty)\). Добавив к нему корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(-2\) и \(1\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \geqslant 0\). Число \(1\) не принадлежит ни одному из промежутков \((-\infty;\ -2)\) и \((5;\ +\infty)\), поэтому оно входит в ответ отдельной точкой.
3) Так как \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\), неравенство принимает вид \(\frac{x^2(x - 1)(x + 1)}{x - 4} > 0\).
Функция \(f(x) = \frac{x^2(x - 1)(x + 1)}{x - 4}\) непрерывна на своей области определения \(D(f) = (-\infty;\ 4) \cup (4;\ +\infty)\), её нули — числа \(-1\), \(0\) и \(1\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -1)\), \((-1;\ 0)\), \((0;\ 1)\), \((1;\ 4)\), \((4;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(5 \in (4;\ +\infty)\); \(f(5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (4;\ +\infty)\);
\(2 \in (1;\ 4)\); \(f(2) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (1;\ 4)\);
\(0{,}5 \in (0;\ 1)\); \(f(0{,}5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (0;\ 1)\);
\(-0{,}5 \in (-1;\ 0)\); \(f(-0{,}5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-1;\ 0)\);
\(-2 \in (-\infty;\ -1)\); \(f(-2) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -1)\).
Неравенству \(f(x) > 0\) удовлетворяют числа из промежутков \((-1;\ 0)\), \((0;\ 1)\) и \((4;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \([1;\ 3)\); 2) \((-\infty;\ -2] \cup \{1\} \cup (5;\ +\infty)\); 3) \((-1;\ 0) \cup (0;\ 1) \cup (4;\ +\infty)\).
