Страница 72 номер 8.16, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

1) Функция \(f(x) = \frac{(x - 2)(2x + 1)^3}{(3 - x)^4(1 - 5x)^5}\) непрерывна на своей области определения \(D(f) = \left(-\infty;\ \frac{1}{5}\right) \cup \left(\frac{1}{5};\ 3\right) \cup (3;\ +\infty)\), её нули — числа \(-\frac{1}{2}\) и \(2\). Промежутки знакопостоянства: \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{2}\right)\), \(\left(-\frac{1}{2};\ \frac{1}{5}\right)\), \(\left(\frac{1}{5};\ 2\right)\), \((2;\ 3)\), \((3;\ +\infty)\).

Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:

\(4 \in (3;\ +\infty)\); \(f(4) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (3;\ +\infty)\);
\(2{,}5 \in (2;\ 3)\); \(f(2{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (2;\ 3)\);
\(1 \in \left(\frac{1}{5};\ 2\right)\); \(f(1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in \left(\frac{1}{5};\ 2\right)\);
\(0 \in \left(-\frac{1}{2};\ \frac{1}{5}\right)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in \left(-\frac{1}{2};\ \frac{1}{5}\right)\);
\(-1 \in \left(-\infty;\ -\frac{1}{2}\right)\); \(f(-1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in \left(-\infty;\ -\frac{1}{2}\right)\).

Неравенству \(f(x) > 0\) удовлетворяют числа из промежутков \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{2}\right)\) и \(\left(\frac{1}{5};\ 2\right)\).

2) Функция \(f(x) = \frac{(x - 3)(5x + 2)(x + 3)}{(x - 1)(x + 4)^2}\) непрерывна на своей области определения \(D(f) = (-\infty;\ -4) \cup (-4;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\), её нули — числа \(-3\), \(-\frac{2}{5}\) и \(3\). Число \(-4\) нулём функции не является, но не принадлежит \(D(f)\), поэтому оно тоже разбивает область определения. Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -4)\), \((-4;\ -3)\), \(\left(-3;\ -\frac{2}{5}\right)\), \(\left(-\frac{2}{5};\ 1\right)\), \((1;\ 3)\), \((3;\ +\infty)\).

Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:

\(4 \in (3;\ +\infty)\); \(f(4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (3;\ +\infty)\);
\(2 \in (1;\ 3)\); \(f(2) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (1;\ 3)\);
\(0 \in \left(-\frac{2}{5};\ 1\right)\); \(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in \left(-\frac{2}{5};\ 1\right)\);
\(-1 \in \left(-3;\ -\frac{2}{5}\right)\); \(f(-1) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in \left(-3;\ -\frac{2}{5}\right)\);
\(-3{,}5 \in (-4;\ -3)\); \(f(-3{,}5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-4;\ -3)\);
\(-5 \in (-\infty;\ -4)\); \(f(-5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -4)\).

Множество решений неравенства \(f(x) > 0\) — это \((-\infty;\ -4) \cup (-4;\ -3) \cup \left(-\frac{2}{5};\ 1\right) \cup (3;\ +\infty)\). Добавив к нему корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(-3\), \(-\frac{2}{5}\) и \(3\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \geqslant 0\).

3) При любом \(x\) выполняется неравенство \(|3x - 1| \geqslant 0\), причём \(|3x - 1| = 0\) только при \(x = \frac{1}{3}\). Значит, число \(\frac{1}{3}\) — нуль функции \(f(x) = \frac{x^5\,|3x - 1|\,(x + 3)}{x - 2}\), а при всех остальных \(x\) множитель \(|3x - 1|\) положителен и знака функции не меняет: знак \(f(x)\) совпадает со знаком дроби \(\frac{x^5(x + 3)}{x - 2}\).

Числитель и знаменатель дроби \(\frac{x^5(x + 3)}{x - 2}\) — многочлены, поэтому она непрерывна на множестве \((-\infty;\ 2) \cup (2;\ +\infty)\), которое служит областью определения и для функции \(f\). Нули этой дроби — числа \(-3\) и \(0\); вместе с числом \(\frac{1}{3}\) они разбивают область определения на промежутки, на каждом из которых знак дроби, а значит, и знак функции \(f\) постоянен: \((-\infty;\ -3)\), \((-3;\ 0)\), \(\left(0;\ \frac{1}{3}\right)\), \(\left(\frac{1}{3};\ 2\right)\), \((2;\ +\infty)\).

Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:

\(3 \in (2;\ +\infty)\); \(f(3) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (2;\ +\infty)\);
\(1 \in \left(\frac{1}{3};\ 2\right)\); \(f(1) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in \left(\frac{1}{3};\ 2\right)\);
\(0{,}2 \in \left(0;\ \frac{1}{3}\right)\); \(f(0{,}2) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in \left(0;\ \frac{1}{3}\right)\);
\(-1 \in (-3;\ 0)\); \(f(-1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-3;\ 0)\);
\(-4 \in (-\infty;\ -3)\); \(f(-4) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -3)\).

Множество решений неравенства \(f(x) < 0\) — это \((-\infty;\ -3) \cup \left(0;\ \frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{1}{3};\ 2\right)\). Добавив к нему корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(-3\), \(0\) и \(\frac{1}{3}\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \leqslant 0\): \((-\infty;\ -3] \cup [0;\ 2)\).

4) Функция \(f(x) = \frac{(2 - x)(4x + 3)}{(x - 3)^3(x + 1)^2}\) непрерывна на своей области определения \(D(f) = (-\infty;\ -1) \cup (-1;\ 3) \cup (3;\ +\infty)\), её нули — числа \(-\frac{3}{4}\) и \(2\). Число \(-1\) нулём функции не является, но не принадлежит \(D(f)\), поэтому оно тоже разбивает область определения. Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -1)\), \(\left(-1;\ -\frac{3}{4}\right)\), \(\left(-\frac{3}{4};\ 2\right)\), \((2;\ 3)\), \((3;\ +\infty)\).

Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:

\(4 \in (3;\ +\infty)\); \(f(4) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (3;\ +\infty)\);
\(2{,}5 \in (2;\ 3)\); \(f(2{,}5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (2;\ 3)\);
\(0 \in \left(-\frac{3}{4};\ 2\right)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in \left(-\frac{3}{4};\ 2\right)\);
\(-0{,}9 \in \left(-1;\ -\frac{3}{4}\right)\); \(f(-0{,}9) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in \left(-1;\ -\frac{3}{4}\right)\);
\(-2 \in (-\infty;\ -1)\); \(f(-2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -1)\).

Множество решений неравенства \(f(x) < 0\) — это \(\left(-\frac{3}{4};\ 2\right) \cup (3;\ +\infty)\). Добавив к нему корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(-\frac{3}{4}\) и \(2\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \leqslant 0\).

Ответ: 1) \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{5};\ 2\right)\); 2) \((-\infty;\ -4) \cup (-4;\ -3] \cup \left[-\frac{2}{5};\ 1\right) \cup [3;\ +\infty)\); 3) \((-\infty;\ -3] \cup [0;\ 2)\); 4) \(\left[-\frac{3}{4};\ 2\right] \cup (3;\ +\infty)\).