Страница 72 номер 8.13, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

1) Перенесём все члены в левую часть и приведём её к общему знаменателю: \(\frac{1}{x + 2} - 1 = \frac{1 - (x + 2)}{x + 2} = \frac{-x - 1}{x + 2}\). Умножив обе части неравенства \(\frac{-x - 1}{x + 2} \leqslant 0\) на \(-1\) и изменив знак неравенства на противоположный, получим \(\frac{x + 1}{x + 2} \geqslant 0\).

Функция \(f(x) = \frac{x + 1}{x + 2}\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ -2) \cup (-2;\ +\infty)\), её нуль — число \(-1\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -2)\), \((-2;\ -1)\), \((-1;\ +\infty)\).

Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:

\(0 \in (-1;\ +\infty)\); \(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-1;\ +\infty)\);
\(-1{,}5 \in (-2;\ -1)\); \(f(-1{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-2;\ -1)\);
\(-3 \in (-\infty;\ -2)\); \(f(-3) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -2)\).

Множество решений неравенства \(f(x) > 0\) — это \((-\infty;\ -2) \cup (-1;\ +\infty)\). Добавив к нему корень уравнения \(f(x) = 0\), то есть число \(-1\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \geqslant 0\).

2) Перенесём все члены в левую часть и приведём её к общему знаменателю: \(\frac{x}{x + 1} - 2 = \frac{x - 2(x + 1)}{x + 1} = \frac{-x - 2}{x + 1}\). Умножив обе части неравенства \(\frac{-x - 2}{x + 1} \geqslant 0\) на \(-1\) и изменив знак неравенства на противоположный, получим \(\frac{x + 2}{x + 1} \leqslant 0\).

Функция \(f(x) = \frac{x + 2}{x + 1}\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ -1) \cup (-1;\ +\infty)\), её нуль — число \(-2\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -2)\), \((-2;\ -1)\), \((-1;\ +\infty)\).

Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:

\(0 \in (-1;\ +\infty)\); \(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-1;\ +\infty)\);
\(-1{,}5 \in (-2;\ -1)\); \(f(-1{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-2;\ -1)\);
\(-3 \in (-\infty;\ -2)\); \(f(-3) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -2)\).

Множество решений неравенства \(f(x) < 0\) — это \((-2;\ -1)\). Добавив к нему корень уравнения \(f(x) = 0\), то есть число \(-2\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \leqslant 0\).

3) Перенесём все члены в левую часть и приведём её к общему знаменателю: \(\frac{5x + 8}{4 - x} - 2 = \frac{5x + 8 - 2(4 - x)}{4 - x} = \frac{7x}{4 - x}\), поэтому неравенство принимает вид \(\frac{7x}{4 - x} < 0\).

Функция \(f(x) = \frac{7x}{4 - x}\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ 4) \cup (4;\ +\infty)\), её нуль — число \(0\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ 0)\), \((0;\ 4)\), \((4;\ +\infty)\).

Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:

\(5 \in (4;\ +\infty)\); \(f(5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (4;\ +\infty)\);
\(1 \in (0;\ 4)\); \(f(1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (0;\ 4)\);
\(-1 \in (-\infty;\ 0)\); \(f(-1) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ 0)\).

Неравенству \(f(x) < 0\) удовлетворяют числа из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((4;\ +\infty)\).

4) Перенесём все члены в левую часть и приведём её к общему знаменателю: \(\frac{2}{x + 3} - \frac{1}{x - 1} = \frac{2(x - 1) - (x + 3)}{(x + 3)(x - 1)} = \frac{x - 5}{(x + 3)(x - 1)}\), поэтому неравенство принимает вид \(\frac{x - 5}{(x + 3)(x - 1)} \geqslant 0\).

Функция \(f(x) = \frac{x - 5}{(x + 3)(x - 1)}\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ -3) \cup (-3;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\), её нуль — число \(5\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -3)\), \((-3;\ 1)\), \((1;\ 5)\), \((5;\ +\infty)\).

Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:

\(6 \in (5;\ +\infty)\); \(f(6) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (5;\ +\infty)\);
\(2 \in (1;\ 5)\); \(f(2) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (1;\ 5)\);
\(0 \in (-3;\ 1)\); \(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-3;\ 1)\);
\(-4 \in (-\infty;\ -3)\); \(f(-4) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -3)\).

Множество решений неравенства \(f(x) > 0\) — это \((-3;\ 1) \cup (5;\ +\infty)\). Добавив к нему корень уравнения \(f(x) = 0\), то есть число \(5\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \geqslant 0\).

Ответ: 1) \((-\infty;\ -2) \cup [-1;\ +\infty)\); 2) \([-2;\ -1)\); 3) \((-\infty;\ 0) \cup (4;\ +\infty)\); 4) \((-3;\ 1) \cup [5;\ +\infty)\).