Страница 72 номер 8.12, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\frac{x^2 + 3x}{x - 5} \geqslant \frac{28}{x - 5}\); 2) \(\frac{1}{x} < 1\); 3) \(\frac{x}{x + 3} > \frac{1}{2}\); 4) \(\frac{1}{x + 2} < \frac{3}{x - 3}\); 5) \(\frac{2}{x} - \frac{1}{x - 1} > 1\); 6) \(\frac{x - 3}{x + 3} \leqslant \frac{2x - 5}{4x - 3}\).
1) Умножать на \(x - 5\) нельзя: знак этого выражения неизвестен. Переносим все члены влево: \(\frac{x^2 + 3x - 28}{x - 5} \geqslant 0\), где \(x^2 + 3x - 28 = (x + 7)(x - 4)\).
\(f(x) = \frac{(x + 7)(x - 4)}{x - 5}\): \(D(f) = (-\infty;\ 5) \cup (5;\ +\infty)\), нули — числа \(-7\) и \(4\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -7)\), \((-7;\ 4)\), \((4;\ 5)\), \((5;\ +\infty)\).
\(f(6) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((5;\ +\infty)\);
\(f(4{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((4;\ 5)\);
\(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-7;\ 4)\);
\(f(-8) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-\infty;\ -7)\).
\(f(x) > 0\) на \((-7;\ 4) \cup (5;\ +\infty)\); добавляем нули \(-7\) и \(4\).
2) \(\frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}\), поэтому неравенство принимает вид \(\frac{1 - x}{x} < 0\).
\(D(f) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\), нуль — число \(1\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ 0)\), \((0;\ 1)\), \((1;\ +\infty)\).
\(f(2) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((1;\ +\infty)\);
\(f(0{,}5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((0;\ 1)\);
\(f(-1) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-\infty;\ 0)\).
\(f(x) < 0\) на промежутках \((-\infty;\ 0)\) и \((1;\ +\infty)\).
3) \(\frac{x}{x + 3} - \frac{1}{2} = \frac{2x - (x + 3)}{2(x + 3)} = \frac{x - 3}{2(x + 3)}\). Множитель \(2\) в знаменателе положителен и знака дроби не меняет, поэтому неравенство равносильно неравенству \(\frac{x - 3}{x + 3} > 0\).
\(D(f) = (-\infty;\ -3) \cup (-3;\ +\infty)\), нуль — число \(3\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -3)\), \((-3;\ 3)\), \((3;\ +\infty)\).
\(f(4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((3;\ +\infty)\);
\(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-3;\ 3)\);
\(f(-4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ -3)\).
\(f(x) > 0\) на промежутках \((-\infty;\ -3)\) и \((3;\ +\infty)\).
4) \(\frac{1}{x + 2} - \frac{3}{x - 3} = \frac{(x - 3) - 3(x + 2)}{(x + 2)(x - 3)} = \frac{-2x - 9}{(x + 2)(x - 3)}\). Умножаем на \(-1\) и меняем знак неравенства: \(\frac{2x + 9}{(x + 2)(x - 3)} > 0\).
\(D(f) = (-\infty;\ -2) \cup (-2;\ 3) \cup (3;\ +\infty)\), нуль — число \(-4{,}5\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -4{,}5)\), \((-4{,}5;\ -2)\), \((-2;\ 3)\), \((3;\ +\infty)\).
\(f(4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((3;\ +\infty)\);
\(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-2;\ 3)\);
\(f(-3) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-4{,}5;\ -2)\);
\(f(-5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-\infty;\ -4{,}5)\).
\(f(x) > 0\) на промежутках \((-4{,}5;\ -2)\) и \((3;\ +\infty)\).
5) \(\frac{2}{x} - \frac{1}{x - 1} - 1 = \frac{2(x - 1) - x - x(x - 1)}{x(x - 1)} = \frac{-x^2 + 2x - 2}{x(x - 1)}\). Умножаем на \(-1\) и меняем знак неравенства: \(\frac{x^2 - 2x + 2}{x(x - 1)} < 0\).
\(x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 > 0\) при любом \(x\), поэтому дробь отрицательна только при отрицательном знаменателе: неравенство равносильно неравенству \(x(x - 1) < 0\).
Нули \(f(x) = x(x - 1)\) — числа \(0\) и \(1\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ 0)\), \((0;\ 1)\), \((1;\ +\infty)\).
\(f(2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((1;\ +\infty)\);
\(f(0{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((0;\ 1)\);
\(f(-1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ 0)\).
\(f(x) < 0\) на промежутке \((0;\ 1)\).
6) Общий знаменатель \((x + 3)(4x - 3)\), числитель: \[(x - 3)(4x - 3) - (2x - 5)(x + 3) = (4x^2 - 15x + 9) - (2x^2 + x - 15) = 2x^2 - 16x + 24.\]
\(2x^2 - 16x + 24 = 2(x - 2)(x - 6)\), поэтому неравенство принимает вид \(\frac{2(x - 2)(x - 6)}{(x + 3)(4x - 3)} \leqslant 0\); множитель \(2\) положителен и знака дроби не меняет.
\(f(x) = \frac{(x - 2)(x - 6)}{(x + 3)(4x - 3)}\): \(D(f) = (-\infty;\ -3) \cup \left(-3;\ \frac{3}{4}\right) \cup \left(\frac{3}{4};\ +\infty\right)\), нули — числа \(2\) и \(6\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -3)\), \(\left(-3;\ \frac{3}{4}\right)\), \(\left(\frac{3}{4};\ 2\right)\), \((2;\ 6)\), \((6;\ +\infty)\).
\(f(7) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((6;\ +\infty)\);
\(f(3) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((2;\ 6)\);
\(f(1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \(\left(\frac{3}{4};\ 2\right)\);
\(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \(\left(-3;\ \frac{3}{4}\right)\);
\(f(-4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ -3)\).
\(f(x) < 0\) на \(\left(-3;\ \frac{3}{4}\right) \cup (2;\ 6)\); добавляем нули \(2\) и \(6\).
Ответ: 1) \([-7;\ 4] \cup (5;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ 0) \cup (1;\ +\infty)\); 3) \((-\infty;\ -3) \cup (3;\ +\infty)\); 4) \((-4{,}5;\ -2) \cup (3;\ +\infty)\); 5) \((0;\ 1)\); 6) \(\left(-3;\ \frac{3}{4}\right) \cup [2;\ 6]\).
Решите неравенство: 1) \(\frac{x^2 + 3x}{x - 5} \geqslant \frac{28}{x - 5}\); 2) \(\frac{1}{x} < 1\); 3) \(\frac{x}{x + 3} > \frac{1}{2}\); 4) \(\frac{1}{x + 2} < \frac{3}{x - 3}\); 5) \(\frac{2}{x} - \frac{1}{x - 1} > 1\); 6) \(\frac{x - 3}{x + 3} \leqslant \frac{2x - 5}{4x - 3}\).
1) Умножать неравенство на выражение \(x - 5\) нельзя: его знак неизвестен. Перенесём все члены в левую часть: \(\frac{x^2 + 3x - 28}{x - 5} \geqslant 0\). По теореме Виета корни уравнения \(x^2 + 3x - 28 = 0\) — числа \(-7\) и \(4\), поэтому неравенство принимает вид \(\frac{(x + 7)(x - 4)}{x - 5} \geqslant 0\).
Функция \(f(x) = \frac{(x + 7)(x - 4)}{x - 5}\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ 5) \cup (5;\ +\infty)\), её нули — числа \(-7\) и \(4\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -7)\), \((-7;\ 4)\), \((4;\ 5)\), \((5;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(6 \in (5;\ +\infty)\); \(f(6) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (5;\ +\infty)\);
\(4{,}5 \in (4;\ 5)\); \(f(4{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (4;\ 5)\);
\(0 \in (-7;\ 4)\); \(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-7;\ 4)\);
\(-8 \in (-\infty;\ -7)\); \(f(-8) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -7)\).
Множество решений неравенства \(f(x) > 0\) — это \((-7;\ 4) \cup (5;\ +\infty)\). Добавив к нему корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(-7\) и \(4\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \geqslant 0\).
2) Перенесём все члены в левую часть и приведём её к общему знаменателю: \(\frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}\), поэтому неравенство принимает вид \(\frac{1 - x}{x} < 0\).
Функция \(f(x) = \frac{1 - x}{x}\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\), её нуль — число \(1\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ 0)\), \((0;\ 1)\), \((1;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(2 \in (1;\ +\infty)\); \(f(2) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (1;\ +\infty)\);
\(0{,}5 \in (0;\ 1)\); \(f(0{,}5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (0;\ 1)\);
\(-1 \in (-\infty;\ 0)\); \(f(-1) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ 0)\).
Неравенству \(f(x) < 0\) удовлетворяют числа из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((1;\ +\infty)\).
3) Перенесём все члены в левую часть и приведём её к общему знаменателю: \(\frac{x}{x + 3} - \frac{1}{2} = \frac{2x - (x + 3)}{2(x + 3)} = \frac{x - 3}{2(x + 3)}\). Множитель \(2\) в знаменателе положителен и знака дроби не меняет, поэтому неравенство равносильно неравенству \(\frac{x - 3}{x + 3} > 0\).
Функция \(f(x) = \frac{x - 3}{x + 3}\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ -3) \cup (-3;\ +\infty)\), её нуль — число \(3\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -3)\), \((-3;\ 3)\), \((3;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(4 \in (3;\ +\infty)\); \(f(4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (3;\ +\infty)\);
\(0 \in (-3;\ 3)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-3;\ 3)\);
\(-4 \in (-\infty;\ -3)\); \(f(-4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -3)\).
Неравенству \(f(x) > 0\) удовлетворяют числа из промежутков \((-\infty;\ -3)\) и \((3;\ +\infty)\).
4) Перенесём все члены в левую часть и приведём её к общему знаменателю: \(\frac{1}{x + 2} - \frac{3}{x - 3} = \frac{(x - 3) - 3(x + 2)}{(x + 2)(x - 3)} = \frac{-2x - 9}{(x + 2)(x - 3)}\). Умножив обе части неравенства \(\frac{-2x - 9}{(x + 2)(x - 3)} < 0\) на \(-1\) и изменив знак неравенства на противоположный, получим \(\frac{2x + 9}{(x + 2)(x - 3)} > 0\).
Функция \(f(x) = \frac{2x + 9}{(x + 2)(x - 3)}\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ -2) \cup (-2;\ 3) \cup (3;\ +\infty)\), её нуль — число \(-4{,}5\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -4{,}5)\), \((-4{,}5;\ -2)\), \((-2;\ 3)\), \((3;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(4 \in (3;\ +\infty)\); \(f(4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (3;\ +\infty)\);
\(0 \in (-2;\ 3)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-2;\ 3)\);
\(-3 \in (-4{,}5;\ -2)\); \(f(-3) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-4{,}5;\ -2)\);
\(-5 \in (-\infty;\ -4{,}5)\); \(f(-5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -4{,}5)\).
Неравенству \(f(x) > 0\) удовлетворяют числа из промежутков \((-4{,}5;\ -2)\) и \((3;\ +\infty)\).
5) Перенесём все члены в левую часть и приведём её к общему знаменателю: \(\frac{2}{x} - \frac{1}{x - 1} - 1 = \frac{2(x - 1) - x - x(x - 1)}{x(x - 1)} = \frac{-x^2 + 2x - 2}{x(x - 1)}\). Умножив обе части неравенства \(\frac{-x^2 + 2x - 2}{x(x - 1)} > 0\) на \(-1\) и изменив знак неравенства на противоположный, получим \(\frac{x^2 - 2x + 2}{x(x - 1)} < 0\).
Выделим квадрат двучлена: \(x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1\). Значит, при любом \(x\) числитель положителен, и дробь отрицательна тогда и только тогда, когда отрицателен знаменатель. Неравенство равносильно неравенству \(x(x - 1) < 0\).
Нули функции \(f(x) = x(x - 1)\), непрерывной на \(D(f) = \mathbf{R}\), — числа \(0\) и \(1\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ 0)\), \((0;\ 1)\), \((1;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(2 \in (1;\ +\infty)\); \(f(2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (1;\ +\infty)\);
\(0{,}5 \in (0;\ 1)\); \(f(0{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (0;\ 1)\);
\(-1 \in (-\infty;\ 0)\); \(f(-1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ 0)\).
Неравенству \(f(x) < 0\) удовлетворяют числа из промежутка \((0;\ 1)\).
6) Перенесём все члены в левую часть и приведём её к общему знаменателю \((x + 3)(4x - 3)\). Числитель получившейся дроби: \[(x - 3)(4x - 3) - (2x - 5)(x + 3) = (4x^2 - 15x + 9) - (2x^2 + x - 15) = 2x^2 - 16x + 24.\]
По теореме Виета корни уравнения \(x^2 - 8x + 12 = 0\) — числа \(2\) и \(6\), поэтому \(2x^2 - 16x + 24 = 2(x - 2)(x - 6)\), и неравенство принимает вид \(\frac{2(x - 2)(x - 6)}{(x + 3)(4x - 3)} \leqslant 0\). Множитель \(2\) положителен и знака дроби не меняет.
Функция \(f(x) = \frac{(x - 2)(x - 6)}{(x + 3)(4x - 3)}\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ -3) \cup \left(-3;\ \frac{3}{4}\right) \cup \left(\frac{3}{4};\ +\infty\right)\), её нули — числа \(2\) и \(6\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -3)\), \(\left(-3;\ \frac{3}{4}\right)\), \(\left(\frac{3}{4};\ 2\right)\), \((2;\ 6)\), \((6;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(7 \in (6;\ +\infty)\); \(f(7) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (6;\ +\infty)\);
\(3 \in (2;\ 6)\); \(f(3) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (2;\ 6)\);
\(1 \in \left(\frac{3}{4};\ 2\right)\); \(f(1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in \left(\frac{3}{4};\ 2\right)\);
\(0 \in \left(-3;\ \frac{3}{4}\right)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in \left(-3;\ \frac{3}{4}\right)\);
\(-4 \in (-\infty;\ -3)\); \(f(-4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -3)\).
Множество решений неравенства \(f(x) < 0\) — это \(\left(-3;\ \frac{3}{4}\right) \cup (2;\ 6)\). Добавив к нему корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(2\) и \(6\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \leqslant 0\).
Ответ: 1) \([-7;\ 4] \cup (5;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ 0) \cup (1;\ +\infty)\); 3) \((-\infty;\ -3) \cup (3;\ +\infty)\); 4) \((-4{,}5;\ -2) \cup (3;\ +\infty)\); 5) \((0;\ 1)\); 6) \(\left(-3;\ \frac{3}{4}\right) \cup [2;\ 6]\).
