Страница 72 номер 8.14, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \((1 - 3x)^3(x + 2)^2(x + 4)^5(x - 3) > 0\); 2) \((x^2 + 2x - 15)(x^2 - 4x + 3)(x - 1) \leqslant 0\).
1) Нули \(f(x) = (1 - 3x)^3(x + 2)^2(x + 4)^5(x - 3)\) — числа \(-4\), \(-2\), \(\frac{1}{3}\) и \(3\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -4)\), \((-4;\ -2)\), \(\left(-2;\ \frac{1}{3}\right)\), \(\left(\frac{1}{3};\ 3\right)\), \((3;\ +\infty)\).
\(f(4) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((3;\ +\infty)\);
\(f(1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \(\left(\frac{1}{3};\ 3\right)\);
\(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \(\left(-2;\ \frac{1}{3}\right)\);
\(f(-3) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-4;\ -2)\);
\(f(-5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ -4)\).
\(f(x) > 0\) на промежутках \((-\infty;\ -4)\) и \(\left(\frac{1}{3};\ 3\right)\).
2) Корни уравнения \(x^2 + 2x - 15 = 0\) — числа \(-5\) и \(3\), корни уравнения \(x^2 - 4x + 3 = 0\) — числа \(1\) и \(3\): \[(x^2 + 2x - 15)(x^2 - 4x + 3)(x - 1) = (x + 5)(x - 3)(x - 1)(x - 3)(x - 1) = (x + 5)(x - 3)^2(x - 1)^2.\]
Нули \(f(x) = (x + 5)(x - 3)^2(x - 1)^2\) — числа \(-5\), \(1\) и \(3\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -5)\), \((-5;\ 1)\), \((1;\ 3)\), \((3;\ +\infty)\).
\(f(4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((3;\ +\infty)\);
\(f(2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((1;\ 3)\);
\(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-5;\ 1)\);
\(f(-6) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-\infty;\ -5)\).
\(f(x) < 0\) на \((-\infty;\ -5)\); добавляем нули \(-5\), \(1\) и \(3\), причём числа \(1\) и \(3\) не принадлежат этому промежутку и входят в ответ отдельными точками.
Ответ: 1) \((-\infty;\ -4) \cup \left(\frac{1}{3};\ 3\right)\); 2) \((-\infty;\ -5] \cup \{1,\ 3\}\).
Решите неравенство: 1) \((1 - 3x)^3(x + 2)^2(x + 4)^5(x - 3) > 0\); 2) \((x^2 + 2x - 15)(x^2 - 4x + 3)(x - 1) \leqslant 0\).
1) Нули функции \(f(x) = (1 - 3x)^3(x + 2)^2(x + 4)^5(x - 3)\), непрерывной на \(D(f) = \mathbf{R}\), — числа \(-4\), \(-2\), \(\frac{1}{3}\) и \(3\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -4)\), \((-4;\ -2)\), \(\left(-2;\ \frac{1}{3}\right)\), \(\left(\frac{1}{3};\ 3\right)\), \((3;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(4 \in (3;\ +\infty)\); \(f(4) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (3;\ +\infty)\);
\(1 \in \left(\frac{1}{3};\ 3\right)\); \(f(1) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in \left(\frac{1}{3};\ 3\right)\);
\(0 \in \left(-2;\ \frac{1}{3}\right)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in \left(-2;\ \frac{1}{3}\right)\);
\(-3 \in (-4;\ -2)\); \(f(-3) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-4;\ -2)\);
\(-5 \in (-\infty;\ -4)\); \(f(-5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -4)\).
Неравенству \(f(x) > 0\) удовлетворяют числа из промежутков \((-\infty;\ -4)\) и \(\left(\frac{1}{3};\ 3\right)\).
2) Разложим каждый трёхчлен на множители. По теореме Виета корни уравнения \(x^2 + 2x - 15 = 0\) — числа \(-5\) и \(3\), а корни уравнения \(x^2 - 4x + 3 = 0\) — числа \(1\) и \(3\). Имеем: \[(x^2 + 2x - 15)(x^2 - 4x + 3)(x - 1) = (x + 5)(x - 3)(x - 1)(x - 3)(x - 1) = (x + 5)(x - 3)^2(x - 1)^2.\]
Нули функции \(f(x) = (x + 5)(x - 3)^2(x - 1)^2\), непрерывной на \(D(f) = \mathbf{R}\), — числа \(-5\), \(1\) и \(3\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -5)\), \((-5;\ 1)\), \((1;\ 3)\), \((3;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(4 \in (3;\ +\infty)\); \(f(4) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (3;\ +\infty)\);
\(2 \in (1;\ 3)\); \(f(2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (1;\ 3)\);
\(0 \in (-5;\ 1)\); \(f(0) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-5;\ 1)\);
\(-6 \in (-\infty;\ -5)\); \(f(-6) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -5)\).
Множество решений неравенства \(f(x) < 0\) — это \((-\infty;\ -5)\). Добавив к нему корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(-5\), \(1\) и \(3\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \leqslant 0\). Числа \(1\) и \(3\) не принадлежат промежутку \((-\infty;\ -5)\), поэтому они входят в ответ отдельными точками.
Ответ: 1) \((-\infty;\ -4) \cup \left(\frac{1}{3};\ 3\right)\); 2) \((-\infty;\ -5] \cup \{1,\ 3\}\).
