Страница 72 номер 8.11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} > 0\); 2) \(\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} \leqslant 0\); 3) \(\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} > 0\); 4) \(\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} \geqslant 0\); 5) \(\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} < 0\); 6) \(\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} \leqslant 0\).
В пунктах 1) и 2) \(f(x) = \frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} = \frac{(x + 5)(x - 4)}{(x - 3)^2}\).
\(D(f) = (-\infty;\ 3) \cup (3;\ +\infty)\), нули — числа \(-5\) и \(4\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -5)\), \((-5;\ 3)\), \((3;\ 4)\), \((4;\ +\infty)\).
\(f(5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((4;\ +\infty)\);
\(f(3{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((3;\ 4)\);
\(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) на \((-5;\ 3)\);
\(f(-6) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) на \((-\infty;\ -5)\).
1) \(f(x) > 0\) на промежутках \((-\infty;\ -5)\) и \((4;\ +\infty)\).
2) \(f(x) < 0\) на \((-5;\ 3) \cup (3;\ 4)\); добавляем нули \(-5\) и \(4\).
В пунктах 3)—6) \(g(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} = \frac{(x - 1)^2}{(x + 4)(x - 2)}\).
\(D(g) = (-\infty;\ -4) \cup (-4;\ 2) \cup (2;\ +\infty)\), нуль — число \(1\); промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -4)\), \((-4;\ 1)\), \((1;\ 2)\), \((2;\ +\infty)\).
\(g(3) > 0\), поэтому \(g(x) > 0\) на \((2;\ +\infty)\);
\(g(1{,}5) < 0\), поэтому \(g(x) < 0\) на \((1;\ 2)\);
\(g(0) < 0\), поэтому \(g(x) < 0\) на \((-4;\ 1)\);
\(g(-5) > 0\), поэтому \(g(x) > 0\) на \((-\infty;\ -4)\).
3) \(g(x) > 0\) на промежутках \((-\infty;\ -4)\) и \((2;\ +\infty)\).
4) Добавляем нуль \(1\); он не принадлежит ни одному из промежутков \((-\infty;\ -4)\) и \((2;\ +\infty)\), поэтому входит в ответ отдельной точкой.
5) \(g(x) < 0\) на промежутках \((-4;\ 1)\) и \((1;\ 2)\).
6) Добавляем нуль \(1\): \((-4;\ 1) \cup \{1\} \cup (1;\ 2)\), то есть промежуток \((-4;\ 2)\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ -5) \cup (4;\ +\infty)\); 2) \([-5;\ 3) \cup (3;\ 4]\); 3) \((-\infty;\ -4) \cup (2;\ +\infty)\); 4) \((-\infty;\ -4) \cup \{1\} \cup (2;\ +\infty)\); 5) \((-4;\ 1) \cup (1;\ 2)\); 6) \((-4;\ 2)\).
Решите неравенство: 1) \(\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} > 0\); 2) \(\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} \leqslant 0\); 3) \(\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} > 0\); 4) \(\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} \geqslant 0\); 5) \(\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} < 0\); 6) \(\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} \leqslant 0\).
В пунктах 1) и 2) рассматривается функция \(f(x) = \frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9}\). По теореме Виета корни уравнения \(x^2 + x - 20 = 0\) — числа \(-5\) и \(4\), а \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\), поэтому \(f(x) = \frac{(x + 5)(x - 4)}{(x - 3)^2}\).
Функция \(f\) непрерывна на \(D(f) = (-\infty;\ 3) \cup (3;\ +\infty)\), её нули — числа \(-5\) и \(4\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -5)\), \((-5;\ 3)\), \((3;\ 4)\), \((4;\ +\infty)\).
Знаки функции \(f\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(5 \in (4;\ +\infty)\); \(f(5) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (4;\ +\infty)\);
\(3{,}5 \in (3;\ 4)\); \(f(3{,}5) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (3;\ 4)\);
\(0 \in (-5;\ 3)\); \(f(0) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-5;\ 3)\);
\(-6 \in (-\infty;\ -5)\); \(f(-6) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -5)\).
1) Неравенству \(f(x) > 0\) удовлетворяют числа из промежутков \((-\infty;\ -5)\) и \((4;\ +\infty)\).
2) Множество решений неравенства \(f(x) < 0\) — это \((-5;\ 3) \cup (3;\ 4)\). Добавив к нему корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа \(-5\) и \(4\), получаем множество решений неравенства \(f(x) \leqslant 0\).
В пунктах 3)—6) рассматривается функция \(g(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8}\). Так как \(x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2\), а корни уравнения \(x^2 + 2x - 8 = 0\) по теореме Виета — числа \(-4\) и \(2\), то \(g(x) = \frac{(x - 1)^2}{(x + 4)(x - 2)}\).
Функция \(g\) непрерывна на \(D(g) = (-\infty;\ -4) \cup (-4;\ 2) \cup (2;\ +\infty)\), её нуль — число \(1\). Промежутки знакопостоянства: \((-\infty;\ -4)\), \((-4;\ 1)\), \((1;\ 2)\), \((2;\ +\infty)\).
Знаки функции \(g\) на этих промежутках определим «пробными точками»:
\(3 \in (2;\ +\infty)\); \(g(3) > 0\), поэтому \(g(x) > 0\) при любом \(x \in (2;\ +\infty)\);
\(1{,}5 \in (1;\ 2)\); \(g(1{,}5) < 0\), поэтому \(g(x) < 0\) при любом \(x \in (1;\ 2)\);
\(0 \in (-4;\ 1)\); \(g(0) < 0\), поэтому \(g(x) < 0\) при любом \(x \in (-4;\ 1)\);
\(-5 \in (-\infty;\ -4)\); \(g(-5) > 0\), поэтому \(g(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -4)\).
3) Неравенству \(g(x) > 0\) удовлетворяют числа из промежутков \((-\infty;\ -4)\) и \((2;\ +\infty)\).
4) Добавив к множеству решений неравенства \(g(x) > 0\) корень уравнения \(g(x) = 0\), то есть число \(1\), получаем множество решений неравенства \(g(x) \geqslant 0\). Число \(1\) не принадлежит ни одному из промежутков \((-\infty;\ -4)\) и \((2;\ +\infty)\), поэтому оно входит в ответ отдельной точкой.
5) Неравенству \(g(x) < 0\) удовлетворяют числа из промежутков \((-4;\ 1)\) и \((1;\ 2)\).
6) Добавив к множеству решений неравенства \(g(x) < 0\) корень уравнения \(g(x) = 0\), то есть число \(1\), получаем множество решений неравенства \(g(x) \leqslant 0\): \((-4;\ 1) \cup \{1\} \cup (1;\ 2)\), то есть промежуток \((-4;\ 2)\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ -5) \cup (4;\ +\infty)\); 2) \([-5;\ 3) \cup (3;\ 4]\); 3) \((-\infty;\ -4) \cup (2;\ +\infty)\); 4) \((-\infty;\ -4) \cup \{1\} \cup (2;\ +\infty)\); 5) \((-4;\ 1) \cup (1;\ 2)\); 6) \((-4;\ 2)\).
