Вопросы после параграфа §8 на странице 71, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начало математического анализа
1. Всегда ли нули функции разбивают её область определения на промежутки знакопостоянства? 2. Каким свойством обладает функция, непрерывная на промежутке и не имеющая на нём нулей? 3. Опишите, как решать неравенства методом интервалов.
Не всегда: так будет, если функция непрерывна на каждом промежутке своей области определения.
Пример функции с разрывом: \[f(x) = \begin{cases} x + 2, & \text{если } x < 0, \\ x - 2, & \text{если } x \geqslant 0. \end{cases}\]
Её нули \(-2\) и \(2\) разбивают \(\mathbf{R}\) на \((-\infty;\ -2)\), \((-2;\ 2)\), \((2;\ +\infty)\), но \(f(-1) = 1 > 0\) и \(f(1) = -1 < 0\): на промежутке \((-2;\ 2)\) знаки разные из-за разрыва в точке \(x = 0\).
Ответ: нет, не всегда: у функции с разрывом промежуток между соседними нулями может не быть промежутком знакопостоянства; если же функция непрерывна на своей области определения, то её нули разбивают эту область на промежутки знакопостоянства.
Она сохраняет на этом промежутке постоянный знак: все её значения либо положительны, либо отрицательны.
Например, \(y = x^2 - 1\) непрерывна на \((-1;\ 1)\) и нулей там не имеет, а при \(x = 0\) её значение равно \(-1\), поэтому \(x^2 - 1 < 0\) при любом \(x \in (-1;\ 1)\).
Ответ: функция, непрерывная на промежутке и не имеющая на нём нулей, сохраняет на этом промежутке постоянный знак.
1. Все члены переносят в левую часть и приводят к общему знаменателю — получают \(f(x) > 0\) (или \(f(x) < 0\), \(f(x) \geqslant 0\), \(f(x) \leqslant 0\)); умножать неравенство на выражение с переменной нельзя, его знак неизвестен.
2. Находят область определения \(D(f)\).
3. Числитель и знаменатель раскладывают на множители и находят нули \(f\) — корни числителя, принадлежащие \(D(f)\).
4. Нули разбивают \(D(f)\) на промежутки знакопостоянства.
5. На каждом промежутке берут «пробную точку»: знак значения в ней и есть знак функции на всём промежутке.
6. В ответ записывают объединение промежутков нужного знака, а для нестрогого неравенства добавляют нули функции.
Ответ: все члены переносят в левую часть, приводят её к общему знаменателю и получают неравенство вида \(f(x) > 0\) (или \(f(x) < 0\), \(f(x) \geqslant 0\), \(f(x) \leqslant 0\)); находят область определения и нули функции \(f\); нули разбивают область определения на промежутки знакопостоянства; знак функции на каждом промежутке определяют «пробной точкой»; в ответ записывают объединение промежутков нужного знака, а для нестрогого неравенства добавляют к нему нули функции.
1. Всегда ли нули функции разбивают её область определения на промежутки знакопостоянства? 2. Каким свойством обладает функция, непрерывная на промежутке и не имеющая на нём нулей? 3. Опишите, как решать неравенства методом интервалов.
Не всегда. Так будет, если функция непрерывна на каждом из промежутков, из которых состоит её область определения. Если же функция имеет разрыв, то промежуток между соседними нулями может и не быть промежутком знакопостоянства.
Рассмотрим функцию \[f(x) = \begin{cases} x + 2, & \text{если } x < 0, \\ x - 2, & \text{если } x \geqslant 0. \end{cases}\]
Её область определения — множество \(\mathbf{R}\), а нули — числа \(-2\) и \(2\). Эти числа разбивают \(\mathbf{R}\) на промежутки \((-\infty;\ -2)\), \((-2;\ 2)\), \((2;\ +\infty)\). Однако \(f(-1) = 1 > 0\) и \(f(1) = -1 < 0\), то есть на промежутке \((-2;\ 2)\) функция принимает значения разных знаков. Причина в том, что в точке \(x = 0\) функция имеет разрыв.
Ответ: нет, не всегда: у функции с разрывом промежуток между соседними нулями может не быть промежутком знакопостоянства; если же функция непрерывна на своей области определения, то её нули разбивают эту область на промежутки знакопостоянства.
Такая функция сохраняет на этом промежутке постоянный знак: либо все её значения на нём положительны, либо все отрицательны.
Например, функция \(y = x^2 - 1\) непрерывна на промежутке \((-1;\ 1)\) и нулей на нём не имеет, поэтому все её значения на этом промежутке одного знака. Так как при \(x = 0\) значение функции равно \(-1\), то \(x^2 - 1 < 0\) при любом \(x \in (-1;\ 1)\).
Ответ: функция, непрерывная на промежутке и не имеющая на нём нулей, сохраняет на этом промежутке постоянный знак.
1. Неравенство приводят к виду \(f(x) > 0\) (или \(f(x) < 0\), \(f(x) \geqslant 0\), \(f(x) \leqslant 0\)): все члены переносят в левую часть и приводят к общему знаменателю. Умножать неравенство на выражение с переменной нельзя — знак такого выражения неизвестен.
2. Находят область определения \(D(f)\). Если \(f(x)\) — дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, то функция \(f\) непрерывна на \(D(f)\), и метод применим.
3. Числитель и знаменатель раскладывают на множители и находят нули функции \(f\) — корни числителя, принадлежащие \(D(f)\).
4. Нули функции разбивают \(D(f)\) на промежутки, каждый из которых является промежутком знакопостоянства: на нём функция непрерывна и нулей не имеет.
5. На каждом промежутке берут «пробную точку» и находят знак значения функции в ней — такой же знак функция имеет на всём промежутке.
6. Записывают ответ: объединение промежутков, на которых знак функции нужный. Для нестрогого неравенства к этому объединению добавляют нули функции.
Ответ: все члены переносят в левую часть, приводят её к общему знаменателю и получают неравенство вида \(f(x) > 0\) (или \(f(x) < 0\), \(f(x) \geqslant 0\), \(f(x) \leqslant 0\)); находят область определения и нули функции \(f\); нули разбивают область определения на промежутки знакопостоянства; знак функции на каждом промежутке определяют «пробной точкой»; в ответ записывают объединение промежутков нужного знака, а для нестрогого неравенства добавляют к нему нули функции.
