Страница 66 номер 7.9, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней: 1) \(y = 3x - 1\); 2) \(y = x^2 - 4\), если \(x \geqslant 0\).
1) \(y = 3x - 1\) возрастает, значит, обратима; \(D(y) = E(y) = \mathbf{R}\).
\(3x = y + 1\); \(x = \frac{y + 1}{3}\). Обратная функция — \(y = \frac{x + 1}{3}\).
2) \(y = x^2 - 4\), где \(x \geqslant 0\): на промежутке \([0;\ +\infty)\) функция возрастает, значит, обратима; \(E(y) = [-4;\ +\infty)\).
\(x^2 = y + 4\); так как \(x \geqslant 0\), то \(x = \sqrt{y + 4}\). Обратная функция — \(y = \sqrt{x + 4}\) с областью определения \([-4;\ +\infty)\).
Графики каждой пары взаимно обратных функций симметричны относительно прямой \(y = x\).
Ответ: 1) обратная функция \(y = \frac{x + 1}{3}\); 2) обратная функция \(y = \sqrt{x + 4}\); графики каждой пары симметричны относительно прямой \(y = x\).
Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней: 1) \(y = 3x - 1\); 2) \(y = x^2 - 4\), если \(x \geqslant 0\).
1) \(y = 3x - 1\). Функция возрастающая, значит, обратимая; \(D(y) = E(y) = \mathbf{R}\).
Выразим \(x\) через \(y\): \(3x = y + 1\); \(x = \frac{y + 1}{3}\). Обратная функция — \(y = \frac{x + 1}{3}\).
2) \(y = x^2 - 4\), где \(x \geqslant 0\). На промежутке \([0;\ +\infty)\) функция возрастает, значит, она обратима. Выражение \(x^2\) принимает при \(x \geqslant 0\) все значения из \([0;\ +\infty)\), поэтому \(E(y) = [-4;\ +\infty)\).
Выразим \(x\) через \(y\): \(x^2 = y + 4\); так как \(x \geqslant 0\), то \(x = \sqrt{y + 4}\). Обратная функция — \(y = \sqrt{x + 4}\), её область определения — \([-4;\ +\infty)\).
Графики каждой пары взаимно обратных функций симметричны относительно прямой \(y = x\).
Ответ: 1) обратная функция \(y = \frac{x + 1}{3}\); 2) обратная функция \(y = \sqrt{x + 4}\); графики каждой пары симметричны относительно прямой \(y = x\).
