Страница 66 номер 7.8, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней: 1) \(y = -0{,}5x + 2\); 2) \(y = \sqrt{x + 1}\); 3) \(y = \begin{cases} x, & \text{если } x \geqslant 0, \\ 2x, & \text{если } x < 0. \end{cases}\)
1) \(y = -0{,}5x + 2\) убывает, значит, обратима; \(D(y) = E(y) = \mathbf{R}\).
\(0{,}5x = 2 - y\); \(x = 4 - 2y\). Обратная функция — \(y = -2x + 4\).
2) \(y = \sqrt{x + 1}\): из условия \(x + 1 \geqslant 0\) имеем \(D(y) = [-1;\ +\infty)\), на нём функция возрастает и принимает все значения из \([0;\ +\infty)\).
Обе части равенства неотрицательны, поэтому \(y^2 = x + 1\); \(x = y^2 - 1\). Обратная функция — \(y = x^2 - 1\), где \(x \geqslant 0\).
3) При \(x \geqslant 0\) функция задана формулой \(y = x\) и принимает все значения из \([0;\ +\infty)\), при \(x < 0\) — формулой \(y = 2x\) и принимает все значения из \((-\infty;\ 0)\). Значит, она возрастает на \(\mathbf{R}\) и обратима, \(E(y) = \mathbf{R}\).
Если \(y \geqslant 0\), то \(x = y\); если \(y < 0\), то \(x = \frac{y}{2}\). Обратная функция: \[y = \begin{cases} x, & \text{если } x \geqslant 0, \\ \frac{x}{2}, & \text{если } x < 0. \end{cases}\]
Графики каждой пары взаимно обратных функций симметричны относительно прямой \(y = x\).
Ответ: 1) обратная функция \(y = -2x + 4\); 2) обратная функция \(y = x^2 - 1\), где \(x \geqslant 0\); 3) обратная функция равна \(x\) при \(x \geqslant 0\) и \(\frac{x}{2}\) при \(x < 0\); графики каждой пары симметричны относительно прямой \(y = x\).
Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней: 1) \(y = -0{,}5x + 2\); 2) \(y = \sqrt{x + 1}\); 3) \(y = \begin{cases} x, & \text{если } x \geqslant 0, \\ 2x, & \text{если } x < 0. \end{cases}\)
1) \(y = -0{,}5x + 2\). Функция убывающая, значит, обратимая; \(D(y) = E(y) = \mathbf{R}\).
Выразим \(x\) через \(y\): \(0{,}5x = 2 - y\); \(x = 4 - 2y\). Обратная функция — \(y = -2x + 4\).
2) \(y = \sqrt{x + 1}\). Область определения задаётся условием \(x + 1 \geqslant 0\), то есть \(D(y) = [-1;\ +\infty)\); на нём функция возрастает и принимает все значения из \([0;\ +\infty)\).
Обе части равенства неотрицательны, поэтому \(y^2 = x + 1\); \(x = y^2 - 1\). Обратная функция — \(y = x^2 - 1\), где \(x \geqslant 0\).
3) На промежутке \([0;\ +\infty)\) функция задана формулой \(y = x\): она возрастает и принимает все значения из \([0;\ +\infty)\). На промежутке \((-\infty;\ 0)\) она задана формулой \(y = 2x\): она возрастает и принимает все значения из \((-\infty;\ 0)\). При отрицательных значениях аргумента значения функции отрицательны, а при неотрицательных — неотрицательны, поэтому функция возрастает на \(\mathbf{R}\) и обратима, причём \(E(y) = \mathbf{R}\).
Выразим \(x\) через \(y\): если \(y \geqslant 0\), то \(x = y\); если \(y < 0\), то \(x = \frac{y}{2}\). Обратная функция задаётся формулой \[y = \begin{cases} x, & \text{если } x \geqslant 0, \\ \frac{x}{2}, & \text{если } x < 0. \end{cases}\]
Графики каждой пары взаимно обратных функций симметричны относительно прямой \(y = x\).
Ответ: 1) обратная функция \(y = -2x + 4\); 2) обратная функция \(y = x^2 - 1\), где \(x \geqslant 0\); 3) обратная функция равна \(x\) при \(x \geqslant 0\) и \(\frac{x}{2}\) при \(x < 0\); графики каждой пары симметричны относительно прямой \(y = x\).
