Страница 66 номер 7.10, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Докажите, что функция, обратная к нечётной функции, также является нечётной.
Пусть \(f\) — нечётная обратимая функция, а \(g\) — обратная к ней.
\(D(g) = E(f)\). Пусть \(y_0 = f(x_0)\); область определения нечётной функции симметрична относительно начала координат, поэтому \(-x_0 \in D(f)\) и \(f(-x_0) = -f(x_0) = -y_0\), значит, \(-y_0 \in E(f)\): множество \(D(g)\) симметрично относительно нуля.
Возьмём \(y_0 \in D(g)\) и обозначим \(g(y_0) = x_0\); тогда \(f(x_0) = y_0\), и, пользуясь нечётностью функции \(f\), получаем \[g(-y_0) = g(-f(x_0)) = g(f(-x_0)) = -x_0 = -g(y_0).\]
Это равенство выполняется для каждого \(y_0 \in D(g)\), значит, функция \(g\) нечётная.
Ответ: область определения обратной функции симметрична относительно нуля и \(g(-y_0) = -g(y_0)\) для всех \(y_0 \in D(g)\), поэтому функция, обратная к нечётной, также является нечётной.
Докажите, что функция, обратная к нечётной функции, также является нечётной.
Пусть \(f\) — нечётная обратимая функция, а \(g\) — обратная к ней. Докажем, что функция \(g\) нечётная.
Сначала убедимся, что область определения функции \(g\) симметрична относительно нуля. Она совпадает с областью значений функции \(f\): \(D(g) = E(f)\). Пусть \(y_0 \in E(f)\), то есть \(y_0 = f(x_0)\) для некоторого \(x_0 \in D(f)\). Область определения нечётной функции симметрична относительно начала координат, поэтому \(-x_0 \in D(f)\) и \(f(-x_0) = -f(x_0) = -y_0\). Значит, число \(-y_0\) также принадлежит \(E(f)\), то есть множество \(D(g)\) симметрично относительно нуля.
Возьмём произвольное \(y_0 \in D(g)\) и обозначим \(g(y_0) = x_0\). По определению взаимно обратных функций тогда \(f(x_0) = y_0\), а для любого значения аргумента выполняется равенство \(g(f(x)) = x\). Пользуясь нечётностью функции \(f\), получаем: \[g(-y_0) = g(-f(x_0)) = g(f(-x_0)) = -x_0 = -g(y_0).\]
Равенство \(g(-y_0) = -g(y_0)\) выполняется для каждого \(y_0 \in D(g)\), значит, функция \(g\) — нечётная.
Ответ: область определения обратной функции симметрична относительно нуля и \(g(-y_0) = -g(y_0)\) для всех \(y_0 \in D(g)\), поэтому функция, обратная к нечётной, также является нечётной.
