Страница 66 номер 7.7, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите функцию, обратную к данной: 1) \(y = \frac{1}{\sqrt{x}}\); 2) \(y = \sqrt{x^2 - 4}\), \(D(y) = [2;\ +\infty)\).
1) \(y = \frac{1}{\sqrt{x}}\): из условия \(x > 0\) имеем \(D(y) = (0;\ +\infty)\), на нём функция убывает, значит, обратима; \(E(y) = (0;\ +\infty)\).
\(\sqrt{x} = \frac{1}{y}\); \(x = \frac{1}{y^2}\). Обратная функция — \(y = \frac{1}{x^2}\), где \(x > 0\).
2) \(y = \sqrt{x^2 - 4}\), \(D(y) = [2;\ +\infty)\): на этом промежутке возрастает выражение \(x^2 - 4\), а с ним и функция, значит, она обратима; \(E(y) = [0;\ +\infty)\).
Обе части равенства неотрицательны, поэтому \(y^2 = x^2 - 4\); \(x^2 = y^2 + 4\); так как \(x \geqslant 2\), то \(x = \sqrt{y^2 + 4}\). Обратная функция — \(y = \sqrt{x^2 + 4}\), где \(x \geqslant 0\).
Ответ: 1) \(y = \frac{1}{x^2}\), где \(x > 0\); 2) \(y = \sqrt{x^2 + 4}\), где \(x \geqslant 0\).
Найдите функцию, обратную к данной: 1) \(y = \frac{1}{\sqrt{x}}\); 2) \(y = \sqrt{x^2 - 4}\), \(D(y) = [2;\ +\infty)\).
1) \(y = \frac{1}{\sqrt{x}}\). Область определения задаётся условием \(x > 0\), то есть \(D(y) = (0;\ +\infty)\). На этом промежутке функция убывает, значит, она обратима. Выражение \(\sqrt{x}\) принимает все положительные значения, поэтому и \(E(y) = (0;\ +\infty)\).
Выразим \(x\) через \(y\): \(\sqrt{x} = \frac{1}{y}\); \(x = \frac{1}{y^2}\).
Обратная функция — \(y = \frac{1}{x^2}\), где \(x > 0\).
2) \(y = \sqrt{x^2 - 4}\), \(D(y) = [2;\ +\infty)\). На этом промежутке возрастает выражение \(x^2 - 4\), а вместе с ним и \(\sqrt{x^2 - 4}\), поэтому функция возрастающая, а значит, обратимая. При \(x \geqslant 2\) выражение \(x^2 - 4\) принимает все значения из \([0;\ +\infty)\), поэтому \(E(y) = [0;\ +\infty)\).
Выразим \(x\) через \(y\). Обе части равенства \(y = \sqrt{x^2 - 4}\) неотрицательны, поэтому \(y^2 = x^2 - 4\); \(x^2 = y^2 + 4\). Так как \(x \geqslant 2\), то \(x = \sqrt{y^2 + 4}\).
Обратная функция — \(y = \sqrt{x^2 + 4}\), где \(x \geqslant 0\).
Ответ: 1) \(y = \frac{1}{x^2}\), где \(x > 0\); 2) \(y = \sqrt{x^2 + 4}\), где \(x \geqslant 0\).
