Страница 66 номер 7.6, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите функцию, обратную к данной: 1) \(y = 2\sqrt{x} - 1\); 2) \(y = x^2\), \(D(y) = (-\infty;\ 0]\).
1) \(y = 2\sqrt{x} - 1\): на \(D(y) = [0;\ +\infty)\) функция возрастает, значит, обратима; \(E(y) = [-1;\ +\infty)\).
\(2\sqrt{x} = y + 1\); \(\sqrt{x} = \frac{y + 1}{2}\); \(x = \frac{(y + 1)^2}{4}\). Обратная функция — \(y = \frac{(x + 1)^2}{4}\), где \(x \geqslant -1\).
2) \(y = x^2\), \(D(y) = (-\infty;\ 0]\): на этом промежутке функция убывает, значит, обратима; \(E(y) = [0;\ +\infty)\).
Так как \(x \leqslant 0\), то \(\sqrt{y} = \sqrt{x^2} = |x| = -x\), откуда \(x = -\sqrt{y}\). Обратная функция — \(y = -\sqrt{x}\); её область определения — \([0;\ +\infty)\), область значений — \((-\infty;\ 0]\).
Ответ: 1) \(y = \frac{(x + 1)^2}{4}\), где \(x \geqslant -1\); 2) \(y = -\sqrt{x}\).
Найдите функцию, обратную к данной: 1) \(y = 2\sqrt{x} - 1\); 2) \(y = x^2\), \(D(y) = (-\infty;\ 0]\).
1) \(y = 2\sqrt{x} - 1\). Область определения — промежуток \([0;\ +\infty)\), на нём функция возрастает, значит, она обратима. Выражение \(\sqrt{x}\) принимает все значения из \([0;\ +\infty)\), поэтому \(E(y) = [-1;\ +\infty)\).
Выразим \(x\) через \(y\): \(2\sqrt{x} = y + 1\); \(\sqrt{x} = \frac{y + 1}{2}\); \(x = \frac{(y + 1)^2}{4}\).
Обратная функция — \(y = \frac{(x + 1)^2}{4}\), где \(x \geqslant -1\).
2) \(y = x^2\), \(D(y) = (-\infty;\ 0]\). На этом промежутке функция убывает, значит, она обратима. При \(x \leqslant 0\) выражение \(x^2\) принимает все значения из \([0;\ +\infty)\), поэтому \(E(y) = [0;\ +\infty)\).
Выразим \(x\) через \(y\). Так как \(x \leqslant 0\), то \(\sqrt{y} = \sqrt{x^2} = |x| = -x\), откуда \(x = -\sqrt{y}\).
Обратная функция — \(y = -\sqrt{x}\); её область определения — \([0;\ +\infty)\), область значений — \((-\infty;\ 0]\).
Ответ: 1) \(y = \frac{(x + 1)^2}{4}\), где \(x \geqslant -1\); 2) \(y = -\sqrt{x}\).
